Calcule os limites.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a 0 pela direita da função . Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e logaritmo próximo a 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar separadamente as duas funções envolvidas: e . Sabemos que, quando está próximo de 0, se aproxima de . Isso é porque, para valores pequenos de , a função seno é praticamente linear. Então, podemos aproximar por .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Conforme se aproxima de 0 pela direita, vai para . Isso nos dá uma situação do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever o limite de uma maneira que facilite o cálculo, usando uma regra que conhecemos: a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Reescrevemos o limite da seguinte forma:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada do tipo , podemos derivar o numerador e o denominador:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Calcule os limites.
Verifique a convergência das seguintes integrais:
f)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)