Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende a 0 pela direita da função
. Aqui, estamos trabalhando com limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e logaritmo próximo a 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar separadamente as duas funções envolvidas:
e
. Sabemos que, quando
está próximo de 0,
se aproxima de
. Isso é porque, para valores pequenos de
, a função seno é praticamente linear. Então, podemos aproximar
por
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Conforme
se aproxima de 0 pela direita,
vai para
. Isso nos dá uma situação do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever o limite de uma maneira que facilite o cálculo, usando uma regra que conhecemos: a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Reescrevemos o limite da seguinte forma:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos uma forma indeterminada do tipo
, podemos derivar o numerador e o denominador:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Calcule os limites.
Verifique a convergência das seguintes integrais:
f)
f)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
I)