Verifique a convergência das seguintes integrais:
I) integral0^pi sen xraizpi-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral converge ou não. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais impróprias, mais especificamente, quando a função dentro da integral pode ter comportamentos que levam a resultados infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta nos pontos críticos do intervalo, especialmente onde o denominador pode se aproximar de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar onde a função pode ter problemas, ou seja, onde ela pode ficar muito grande (tende ao infinito). Olhando para a fração, vemos que o denominador se aproxima de zero quando se aproxima de . Isso pode fazer a função total crescer sem limites nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos ver como a função sin x approx pi - x se comporta perto de . Sabemos que e, perto de , podemos aproximar por quando é pequeno (isto é, quando está próximo de ). Portanto, para perto de , temos:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa função original, ficamos com:
sin xraizpi - x approx pi - xraizpi - x = raizpi - x
Então, perto de , a nossa função se comporta aproximadamente como .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a integral de integral0^pi raizpi - x , dx de integral raizt , dt = 23 t^3/2 + C a é finita. Mudando a variável para , quando se aproxima de , se aproxima de , e a integral fica semelhante a:
Sabemos que a integral de uma raiz quadrada é finita:
Portanto, a integral da nossa função aproximada também será finita.

Resposta

Como a função se comporta como perto de e a integral de é finita, podemos concluir que a integral converge.

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