Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
I)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral
converge ou não. Esse problema está relacionado ao estudo de integrais impróprias, mais especificamente, quando a função dentro da integral pode ter comportamentos que levam a resultados infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta nos pontos críticos do intervalo, especialmente onde o denominador pode se aproximar de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde ela pode ficar muito grande (tende ao infinito). Olhando para a fração, vemos que o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de
. Isso pode fazer a função total crescer sem limites nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos ver como a função
se comporta perto de
. Sabemos que
e, perto de
, podemos aproximar
por
quando
é pequeno (isto é, quando
está próximo de
). Portanto, para
perto de
, temos:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa função original, ficamos com:
Então, perto de
, a nossa função se comporta aproximadamente como
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a integral de
de
a
é finita. Mudando a variável para
, quando
se aproxima de
,
se aproxima de
, e a integral fica semelhante a:
Sabemos que a integral de uma raiz quadrada é finita:
Portanto, a integral da nossa função aproximada também será finita.
Resposta
Como a função
se comporta como
perto de
e a integral de
é finita, podemos concluir que a integral
converge.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
f)
f)
Calcule os limites.
Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
r)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
w)
w)