Verifique a convergência das seguintes integrais:
f) integral-infty^infty 1x^3+1 d x

Passo 1

Então, temos o exercício de verificar se a integral
integral-infty^infty 1x^3+1 , dx
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para resolver isso. Precisaremos analisar o comportamento da função no infinito e também em pontos onde o denominador se anula, já que isso pode causar problemas na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o denominador x^3 + 1 = 0 implies x^3 = -1 implies x = -1 se torna zero, pois nesses pontos a função fica indefinida e pode causar uma descontinuidade. Resolveremos a equação:
Então, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, precisamos dividir a integral em duas partes para analisar separadamente:
  1. De integral-infty^infty 1x^3+1 , dx = integral-infty^-1 1x^3+1 , dx + integral-1^infty 1x^3+1 , dx até .
  2. De até .
Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função 1x^3 + 1 approx 1x^3 em cada intervalo.

Para 1x^3 + 1 = 1(x + 1)(x^2 - x + 1) e 1x + 1 :

Quando integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1| tende ao infinito, domina o +1, então:
Sabemos que a integral de converge, já que é uma integral p com .

Perto de :

Vamos considerar o limite quando se aproxima de . Podemos reescrever a função como:
Perto de , o termo se aproxima de zero, então a função se comporta como:
A integral de perto de é:
Quando se aproxima de , tende ao infinito, o que indica que a integral diverge nesse ponto.

Passo 5

Como a integral diverge próximo a , mesmo que as integrais nos intervalos de a e de a possam convergir individualmente, a presença dessa descontinuidade que causa divergência faz com que a integral total também seja divergente.

Resposta

A integral
integral-infty^infty 1x^3+1 , dx
é divergente.

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