Verifique a convergência das seguintes integrais:
f)
f)
Passo 1
Então, temos o exercício de verificar se a integral
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para resolver isso. Precisaremos analisar o comportamento da função no infinito e também em pontos onde o denominador se anula, já que isso pode causar problemas na integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde o denominador
se torna zero, pois nesses pontos a função fica indefinida e pode causar uma descontinuidade. Resolveremos a equação:
Então, a função
tem uma descontinuidade em
.
Passo 3
Devido a essa descontinuidade, precisamos dividir a integral em duas partes para analisar separadamente:
- De
até . - De
até .
Assim, reescrevemos a integral como:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função
em cada intervalo.
Para
e
:
Quando
tende ao infinito,
domina o +1, então:
Sabemos que a integral de
converge, já que é uma integral p com
.
Perto de
:
Vamos considerar o limite quando
se aproxima de
. Podemos reescrever a função como:
Perto de
, o termo
se aproxima de zero, então a função se comporta como:
A integral de
perto de
é:
Quando
se aproxima de
,
tende ao infinito, o que indica que a integral diverge nesse ponto.
Passo 5
Como a integral diverge próximo a
, mesmo que as integrais nos intervalos de
a
e de
a
possam convergir individualmente, a presença dessa descontinuidade que causa divergência faz com que a integral total também seja divergente.
Resposta
A integral
é divergente.
Exercícios relacionados
Calcule os limites.
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
I)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
r)