Verifique a convergência das seguintes integrais:
f)

Passo 1

Então, temos o exercício de verificar se a integral
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, para resolver isso. Precisaremos analisar o comportamento da função no infinito e também em pontos onde o denominador se anula, já que isso pode causar problemas na integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o denominador se torna zero, pois nesses pontos a função fica indefinida e pode causar uma descontinuidade. Resolveremos a equação:
Então, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 3

Devido a essa descontinuidade, precisamos dividir a integral em duas partes para analisar separadamente:
  1. De até .
  2. De até .
Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função em cada intervalo.

Para e :

Quando tende ao infinito, domina o +1, então:
Sabemos que a integral de converge, já que é uma integral p com .

Perto de :

Vamos considerar o limite quando se aproxima de . Podemos reescrever a função como:
Perto de , o termo se aproxima de zero, então a função se comporta como:
A integral de perto de é:
Quando se aproxima de , tende ao infinito, o que indica que a integral diverge nesse ponto.

Passo 5

Como a integral diverge próximo a , mesmo que as integrais nos intervalos de a e de a possam convergir individualmente, a presença dessa descontinuidade que causa divergência faz com que a integral total também seja divergente.

Resposta

A integral
é divergente.

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Calcule os limites.
Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)