Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Então, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Essa é uma série geométrica com termo geral
.
Para uma série geométrica
, ela converge se o valor absoluto da razão
. Nesse caso, a nossa razão
, e
. Portanto, a série converge.
Passo 4
Como a série é geométrica e converge, podemos encontrar a sua soma usando a fórmula da soma da série geométrica:
Onde
é o primeiro termo da série e
é a razão.
No nosso caso, começamos a série em
, então o primeiro termo é:
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma:
Mas lembre-se que na nossa reescrita da série original, multiplicamos por 4. Então, a soma total é:
Resposta
A série converge e sua soma é
.
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I)
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f)
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