Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty (-1)^n+2 2^n+23^n;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n+2 2^n+23^n
O objetivo é determinar se essa série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
(-1)^n+2 2^n+23^n = (-1)^n+2 cdot 2^n cdot 2^23^n = (-1)^n+2 cdot 4 cdot (23)^n
Então, a série pode ser reescrita como:
4 sumn=1^infty (-1)^n+2 (23)^n

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Essa é uma série geométrica com termo geral .
Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão . Nesse caso, a nossa razão , e . Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série é geométrica e converge, podemos encontrar a sua soma usando a fórmula da soma da série geométrica:
S = a1 - r
Onde a = (-1)^1+2 (23)^1 = (-1)^3 cdot 23 = -23 é o primeiro termo da série e é a razão.
No nosso caso, começamos a série em , então o primeiro termo é:

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma:
S = -231 - (-23) = -231 + 23 = -2353 = -25
Mas lembre-se que na nossa reescrita da série original, multiplicamos por 4. Então, a soma total é:
Stotal = 4 cdot (-25) = -85

Resposta

A série converge e sua soma é .

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