Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Então, a série pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Essa é uma série geométrica com termo geral .
Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão . Nesse caso, a nossa razão , e . Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série é geométrica e converge, podemos encontrar a sua soma usando a fórmula da soma da série geométrica:
Onde é o primeiro termo da série e é a razão.
No nosso caso, começamos a série em , então o primeiro termo é:

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma:
Mas lembre-se que na nossa reescrita da série original, multiplicamos por 4. Então, a soma total é:

Resposta

A série converge e sua soma é .

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I)
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f)