Calcule os limites lim x 5^- x^2-5 x+10x^2-25 (Resp: -infty )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x 5^- x^2-5x+10x^2-25 se aproxima de 5 por valores menores que 5 (isso é o que significa ) da função:
Vamos usar conhecimentos de limites e funções racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
x^2 - 25
Isso pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
Então, a função fica:
x^2-5x+10(x - 5)(x + 5)

Passo 3

Agora, vamos verificar o comportamento quando 5 + 5 = 10 se aproxima de 5. O denominador se aproxima de zero porque está chegando perto de 5. O sinal desse termo depende de como se aproxima:
  • Como está se aproximando de 5 por valores menores que 5 ( ), será negativo, pois é menor que 5.
O outro fator no denominador, , quando está perto de 5, fica aproximadamente:
Então, é positivo.

Passo 4

Vamos agora olhar para o numerador:
x^2 - 5x + 10
Quando 5^2 - 5 times 5 + 10 = 25 - 25 + 10 = 10 se aproxima de 5, substituímos:
Então, o numerador está se aproximando de 10, que é um valor positivo.

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
  • O numerador está se aproximando de 10 (positivo).
  • O denominador está se aproximando de (um número muito pequeno e negativo).
Quando você divide um número positivo por um número que está se aproximando de zero negativo, o resultado tende para menos infinito.

Resposta

lim x 5^- x^2-5x+10x^2-25 = -infty

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