Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação diferencial para . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. O conteúdo da matéria envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar utilizar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para torná-la mais fácil de integrar.

Passo 2

Vamos começar colocando a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo temos:
Como , podemos simplificar para .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Perceba que a esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral da derivada do produto é simplesmente :
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Portanto:

Passo 6

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Calcule os limites (Resp: )
Calcule os limites