Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação diferencial para
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. O conteúdo da matéria envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar utilizar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para torná-la mais fácil de integrar.
Passo 2
Vamos começar colocando a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Aqui, identificamos que
e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
temos:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Perceba que a esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da derivada do produto é simplesmente
:
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Portanto:
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Calcule os limites
(Resp:
)
Calcule os limites