Calcule os limites
lim x 0 3^x3^x-1

Passo 1

Vamos calcular o limite de 3^x3^x-1 quando x se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais. Precisamos entender como a função se comporta perto de x = 0.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 0 na expressão para ver o que acontece:
3^03^0 - 1 = 11 - 1 = 10
Aqui, vemos que temos uma forma indefinida 10, o que nos indica que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 3

Para entender melhor, vamos analisar o comportamento de 3^x quando x se aproxima de 0. Sabemos que 3^x pode ser expresso como e^x ln 3. Para valores próximos a 0, podemos aproximar usando a primeira ordem da expansão de Taylor:
3^x approx 1 + x ln 3
Então, a expressão original fica:
1 + x ln 3(1 + x ln 3) - 1 = 1 + x ln 3x ln 3

Passo 4

Simplificando a expressão:
1 + x ln 3x ln 3 = 1x ln 3 + x ln 3x ln 3 = 1x ln 3 + 1
À medida que x se aproxima de 0, o termo 1x ln 3 domina, pois x está no denominador e está tendendo a 0.

Passo 5

Analisando o sinal de x:
  • Se x se aproxima de 0 pelo lado direito ( x to 0^+), x é positivo, então 1x ln 3 tende a +infty.
  • Se x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( x to 0^-), x é negativo, então 1x ln 3 tende a -infty.

Resposta

O limite lim x 0 3^x3^x-1 não existe, pois tende a +infty quando x se aproxima de 0 pela direita e a -infty quando se aproxima pela esquerda.

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