Uma janela deve ter a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência. Sendo seu perímetro fixo, determine a razão entre a base a altura da parte retangular se se requer área máxima de abertura.

Passo 1

Então, temos um exercício onde precisamos projetar uma janela que seja um retângulo com uma semicircunferência em cima. O perímetro total da janela é fixo, e queremos descobrir qual deve ser a relação entre a base e a altura da parte retangular para que a área de abertura seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, aplicando algumas fórmulas matemáticas.

Passo 2

Vamos começar desenhando a janela. Imaginemos um retângulo com base de comprimento e altura . No topo deste retângulo, há uma semicircunferência. A área total da janela será a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência.

Passo 3

Primeiro, vamos expressar o perímetro total da janela. O perímetro inclui os dois lados verticais do retângulo, a base do retângulo e a circunferência da semicircunferência. A circunferência completa de um círculo é , então a semicircunferência será . Como a base do retângulo é e a semicircunferência tem diâmetro igual a , o raio da semicircunferência é .

Passo 4

Escrevendo o perímetro total :
Substituindo por :

Passo 5

Agora, vamos expressar a área total da janela, que é a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
Substituindo por :

Passo 6

Queremos maximizar a área em função das variáveis e , mas como o perímetro é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação do perímetro. Vamos resolver a equação do perímetro para :

Passo 7

Substituindo na equação da área :
Distribuindo :
Simplificando os termos com :

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 9

Agora, substituímos na expressão de :
Substituindo :

Passo 10

Agora, temos e . A razão entre a base e a altura é:

Resposta

A relação entre a base e a altura que maximiza a área é .

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