Uma janela deve ter a forma de um retângulo encimado por uma semicircunferência. Sendo seu perímetro fixo, determine a razão entre a base a altura da parte retangular se se requer área máxima de abertura.
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos projetar uma janela que seja um retângulo com uma semicircunferência em cima. O perímetro total da janela é fixo, e queremos descobrir qual deve ser a relação entre a base e a altura da parte retangular para que a área de abertura seja a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, aplicando algumas fórmulas matemáticas.
Passo 2
Vamos começar desenhando a janela. Imaginemos um retângulo com base de comprimento
e altura
. No topo deste retângulo, há uma semicircunferência. A área total da janela será a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência.
Passo 3
Primeiro, vamos expressar o perímetro total da janela. O perímetro inclui os dois lados verticais do retângulo, a base do retângulo e a circunferência da semicircunferência. A circunferência completa de um círculo é
, então a semicircunferência será
. Como a base do retângulo é
e a semicircunferência tem diâmetro igual a
, o raio
da semicircunferência é
.
Passo 4
Escrevendo o perímetro total
:
Substituindo
por
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a área total
da janela, que é a soma da área do retângulo e da área da semicircunferência:
Substituindo
por
:
Passo 6
Queremos maximizar a área
em função das variáveis
e
, mas como o perímetro
é fixo, podemos expressar uma das variáveis em termos da outra usando a equação do perímetro. Vamos resolver a equação do perímetro para
:
Passo 7
Substituindo
na equação da área
:
Distribuindo
:
Simplificando os termos com
:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão de
:
Substituindo
:
Passo 10
Agora, temos
e
. A razão entre a base e a altura é:
Resposta
A relação entre a base e a altura que maximiza a área é
.
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
k)
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b)
c)
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e)
f)
g)
h)
k)
-
i)
j)
m)
n)
o)
Determine as dimensões do maior retângulo inscritível na elipse
.
Calcule os limites
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