Calcule os limites
lim x 0 e^x-1-xx^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos tentando calcular o limite da expressão lim x 0 e^x-1-xx^2. O tema aqui é limites, que é uma parte muito importante da análise matemática. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função quando x se aproxima de 0. Vamos precisar da definição de limite e, possivelmente, da série de Taylor do e^x.

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é substituir x = 0 na expressão para ver o que acontece. Se substituímos, temos:
e^0-1-00^2 = 1-1-00 = 00
Isso é uma indeterminação! Então, não conseguimos resolver só assim. A gente precisa de uma abordagem diferente.
Uma forma de resolver é usar a série de Taylor para a função e^x. A série de Taylor de e^x em torno de 0 é dada por:
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + ldots
Agora, se a gente substitui isso na expressão do limite, fica assim:
e^x - 1 - x = (1 + x + x^22 + x^36 + ldots) - 1 - x = x^22 + x^36 + ldots
Então, a expressão que está no numerador se torna aproximadamente x^22 para valores próximos a 0.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação de volta na expressão original do limite:
lim x 0 e^x-1-xx^2 = lim x 0 x^22 + x^36 + ldotsx^2
Isso pode ser simplificado para:
lim x 0 (x^22x^2 + x^36x^2 + ldots) = lim x 0 (12 + x6 + ldots)
Agora, conforme x vai se aproximando de 0, o termo x6 e os outros termos com x vão para 0. Assim, ficamos com:
12 + 0 = 12

Resposta

Portanto, o limite que nós calculamos é 12.

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