Calcule os limites

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos tentando calcular o limite da expressão . O tema aqui é limites, que é uma parte muito importante da análise matemática. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função quando se aproxima de 0. Vamos precisar da definição de limite e, possivelmente, da série de Taylor do .

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é substituir na expressão para ver o que acontece. Se substituímos, temos:
Isso é uma indeterminação! Então, não conseguimos resolver só assim. A gente precisa de uma abordagem diferente.
Uma forma de resolver é usar a série de Taylor para a função . A série de Taylor de em torno de 0 é dada por:
Agora, se a gente substitui isso na expressão do limite, fica assim:
Então, a expressão que está no numerador se torna aproximadamente para valores próximos a .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação de volta na expressão original do limite:
Isso pode ser simplificado para:
Agora, conforme vai se aproximando de , o termo e os outros termos com vão para . Assim, ficamos com:

Resposta

Portanto, o limite que nós calculamos é .

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Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Dada a função , faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,
Determine se a série é convergente ou divergente.
Seja e seja a inversa de . Mostre que é derivável e que .