Dada a função , faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos analisar a função . O objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função é crescente (onde os valores de aumentam quando aumenta) e decrescente (onde os valores de diminuem quando aumenta). Para fazer isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, pois a derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada da função é representada por . Para calcular a derivada, a gente aplica as regras básicas de derivação:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de uma constante é zero.
Então, vamos lá! Para a função :
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
  • A derivada de é .
Assim, nossa derivada fica:

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos descobrir os pontos críticos, que são os valores de onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, igualamos a derivada a zero:
Essa é uma equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e . Substituindo esses valores, temos:
Vamos calcular o discriminante:
Agora, podemos substituir de volta na fórmula:
Como , temos:
Portanto, as soluções são:

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos e , precisamos testar os intervalos que esses pontos criam. Os intervalos são: , e .
Vamos pegar um ponto de cada um desses intervalos e substituí-los na derivada para ver se o resultado é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).
  1. Para o intervalo , vamos testar :
ã
  1. Para o intervalo , vamos testar :
ã
  1. Para o intervalo , vamos testar :
ã

Resposta

Resumindo, a função é crescente nos intervalos e , e é decrescente no intervalo .

Exercícios relacionados

Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
d)
Encontre as funções e seus domínios.
Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Calcule os limites