Dada a função
, faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos analisar a função
. O objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função é crescente (onde os valores de
aumentam quando
aumenta) e decrescente (onde os valores de
diminuem quando
aumenta). Para fazer isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, pois a derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada da função é representada por
. Para calcular a derivada, a gente aplica as regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante é zero.
Então, vamos lá! Para a função
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - A derivada de
é .
Assim, nossa derivada fica:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos descobrir os pontos críticos, que são os valores de
onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, igualamos a derivada a zero:
Essa é uma equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
. Substituindo esses valores, temos:
Vamos calcular o discriminante:
Agora, podemos substituir de volta na fórmula:
Como
, temos:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos
e
, precisamos testar os intervalos que esses pontos criam. Os intervalos são:
,
e
.
Vamos pegar um ponto de cada um desses intervalos e substituí-los na derivada
para ver se o resultado é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).
- Para o intervalo
, vamos testar :
- Para o intervalo
, vamos testar :
- Para o intervalo
, vamos testar :
Resposta
Resumindo, a função
é crescente nos intervalos
e
, e é decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
d)
d)
Encontre as funções
e seus domínios.
Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Calcule os limites