Dada a função h(x)=13 x^3+3 x^2-7 x+9, faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos analisar a função h(x)=13 x^3+3 x^2-7 x+9. O objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função é crescente (onde os valores de h(x) aumentam quando x aumenta) e decrescente (onde os valores de h(x) diminuem quando x aumenta). Para fazer isso, vamos precisar encontrar a derivada da função, pois a derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função h(x). A derivada da função é representada por h'(x). Para calcular a derivada, a gente aplica as regras básicas de derivação:
  1. A derivada de x^n é n cdot x^n-1.
  2. A derivada de uma constante é zero.
Então, vamos lá! Para a função h(x):
  • Derivada de 13 x^3 é x^2.
  • Derivada de 3x^2 é 6x.
  • Derivada de -7x é -7.
  • A derivada de 9 é 0.
Assim, nossa derivada fica:
h'(x) = x^2 + 6x - 7

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos descobrir os pontos críticos, que são os valores de x onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa. Para isso, igualamos a derivada a zero:
x^2 + 6x - 7 = 0
Essa é uma equação do segundo grau que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 1, b = 6, e c = -7. Substituindo esses valores, temos:
x = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 1 cdot (-7)2 cdot 1
Vamos calcular o discriminante:
6^2 - 4 cdot 1 cdot (-7) = 36 + 28 = 64
Agora, podemos substituir de volta na fórmula:
x = -6 pm raiz642
Como raiz64 = 8, temos:
x = -6 + 82 ou x = -6 - 82
Portanto, as soluções são:
x = 22 = 1 e x = -142 = -7

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos x = -7 e x = 1, precisamos testar os intervalos que esses pontos criam. Os intervalos são: (-infty, -7), (-7, 1) e (1, +infty).
Vamos pegar um ponto de cada um desses intervalos e substituí-los na derivada h'(x) para ver se o resultado é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).
  1. Para o intervalo (-infty, -7), vamos testar x = -8:
h'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 (positivo, então crescente) ã
  1. Para o intervalo (-7, 1), vamos testar x = 0:
h'(0) = 0^2 + 6(0) - 7 = -7 (negativo, então decrescente) ã
  1. Para o intervalo (1, +infty), vamos testar x = 2:
h'(2) = (2)^2 + 6(2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 (positivo, então crescente) ã

Resposta

Resumindo, a função h(x) é crescente nos intervalos (-infty, -7) e (1, +infty), e é decrescente no intervalo (-7, 1).

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