Seja e seja a inversa de . Mostre que é derivável e que .

Passo 1

Vamos resumir a questão: nós temos a função e queremos mostrar que a função inversa dessa função é derivável, e mais, precisamos encontrar a sua derivada e provar que ela é igual a . O conteúdo que estamos utilizando aqui é sobre funções inversas e suas derivadas, que é algo que sempre aparece em cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que se uma função possui uma função inversa , isso significa que para todo no domínio de . Agora, para encontrar a derivada da função inversa, usamos uma regra muito legal que diz que, se é a inversa de , a derivada de pode ser encontrada usando a seguinte relação:
Então, nosso próximo passo é determinar a derivada da função , .

Passo 3

Agora, vamos calcular . A função tem duas partes: e . A derivada de em relação a é 1, e a derivada de também é . Portanto, somando ambas, temos:

Passo 4

Claro, como estamos interessados em , vamos substituir na derivada que encontramos:
E é isso! Agora, conseguimos expressar em termos de . O que precisamos fazer agora é apenas reafirmar que é derivável. Isso acontece porque é sempre positivo (já que nunca é negativo e a soma com 1 garante isso), então também será derivável. Isso acontece por conta da Teoria da Derivabilidade das Funções Inversas.

Resposta

Portanto, mostramos que é derivável e que a sua derivada é .

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