Seja f(x)=x+e^x e seja g a inversa de f. Mostre que g é derivável e que g^prime(x)=11+e^g(x).

Passo 1

Vamos resumir a questão: nós temos a função f(x) = x + e^x e queremos mostrar que a função inversa g dessa função é derivável, e mais, precisamos encontrar a sua derivada g'(x) e provar que ela é igual a 11+e^g(x). O conteúdo que estamos utilizando aqui é sobre funções inversas e suas derivadas, que é algo que sempre aparece em cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que se uma função f possui uma função inversa g, isso significa que f(g(x)) = x para todo x no domínio de g. Agora, para encontrar a derivada da função inversa, usamos uma regra muito legal que diz que, se g é a inversa de f, a derivada de g pode ser encontrada usando a seguinte relação:
g'(x) = 1f'(g(x))
Então, nosso próximo passo é determinar a derivada da função f, f'(x).

Passo 3

Agora, vamos calcular f'(x). A função f(x) = x + e^x tem duas partes: x e e^x. A derivada de x em relação a x é 1, e a derivada de e^x também é e^x. Portanto, somando ambas, temos:
f'(x) = 1 + e^x

Passo 4

Claro, como estamos interessados em g'(x), vamos substituir g(x) na derivada que encontramos:
g'(x) = 1f'(g(x)) = 11 + e^g(x)
E é isso! Agora, conseguimos expressar g'(x) em termos de g(x). O que precisamos fazer agora é apenas reafirmar que g'(x) é derivável. Isso acontece porque f'(x) é sempre positivo (já que e^x nunca é negativo e a soma com 1 garante isso), então g(x) também será derivável. Isso acontece por conta da Teoria da Derivabilidade das Funções Inversas.

Resposta

Portanto, mostramos que g é derivável e que a sua derivada é g'(x) = 11 + e^g(x).

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