Seja
e seja
a inversa de
. Mostre que
é derivável e que
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: nós temos a função
e queremos mostrar que a função inversa
dessa função é derivável, e mais, precisamos encontrar a sua derivada
e provar que ela é igual a
. O conteúdo que estamos utilizando aqui é sobre funções inversas e suas derivadas, que é algo que sempre aparece em cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que se uma função
possui uma função inversa
, isso significa que
para todo
no domínio de
. Agora, para encontrar a derivada da função inversa, usamos uma regra muito legal que diz que, se
é a inversa de
, a derivada de
pode ser encontrada usando a seguinte relação:
Então, nosso próximo passo é determinar a derivada da função
,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. A função
tem duas partes:
e
. A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
também é
. Portanto, somando ambas, temos:
Passo 4
Claro, como estamos interessados em
, vamos substituir
na derivada que encontramos:
E é isso! Agora, conseguimos expressar
em termos de
. O que precisamos fazer agora é apenas reafirmar que
é derivável. Isso acontece porque
é sempre positivo (já que
nunca é negativo e a soma com 1 garante isso), então
também será derivável. Isso acontece por conta da Teoria da Derivabilidade das Funções Inversas.
Resposta
Portanto, mostramos que
é derivável e que a sua derivada é
.