Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos entender o exercício! O que temos aqui é uma série infinita, representada como . O objetivo é saber se essa série se comporta de uma maneira que soma um valor fixo (convergente) ou se ela “sai explodindo”, sem se limitar a um valor (divergente). Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é um bom jeito de analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa calcular a razão entre os termos consecutivos da série, ou seja, vamos pegar o termo e o termo . O teste da razão nos diz que precisamos calcular o limite da razão:
Vamos calcular :
Agora, para encontrar a razão:
Simplificando isso, temos:
Vamos refatorar essa última parte. O termo pode ser escrito como . Assim, temos:
Agora, se a gente isolar essas potências:

Passo 3

Agora vem a parte do limite. Precisamos calcular:
Sabemos que se aproxima de conforme aumenta, mas vamos usar a propriedade de limites mais específica. Lembre-se que se comporta como conforme vai para o infinito. Assim, temos:

Resposta

Como , isso indica que a série é convergente!

Exercícios relacionados

Calcule os limites
Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Seja e seja a inversa de . Mostre que é derivável e que .
Um trem passa por uma plataforma com velocidade . Um homem parado no ponto A do trem e um homem parado no ponto B atiram um no outro. A distância entre A e B, medida por alguém no trem, é de 15 m . O condutor do trem diz que os dois homens atiraram simultaneamente. O que diz um observador na plataforma? Qual homem atirou primeiro e quanto mais cedo ele atirou, de acordo com o observador na plataforma?