Vamos entender o exercício! O que temos aqui é uma série infinita, representada como . O objetivo é saber se essa série se comporta de uma maneira que soma um valor fixo (convergente) ou se ela “sai explodindo”, sem se limitar a um valor (divergente). Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é um bom jeito de analisar esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa calcular a razão entre os termos consecutivos da série, ou seja, vamos pegar o termo e o termo . O teste da razão nos diz que precisamos calcular o limite da razão:
Vamos calcular :
Agora, para encontrar a razão:
Simplificando isso, temos:
Vamos refatorar essa última parte. O termo pode ser escrito como . Assim, temos:
Agora, se a gente isolar essas potências:
Passo 3
Agora vem a parte do limite. Precisamos calcular:
Sabemos que se aproxima de conforme aumenta, mas vamos usar a propriedade de limites mais específica. Lembre-se que se comporta como conforme vai para o infinito. Assim, temos: