Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

Vamos entender o exercício! O que temos aqui é uma série infinita, representada como sumn=1^infty n!n^n. O objetivo é saber se essa série se comporta de uma maneira que soma um valor fixo (convergente) ou se ela “sai explodindo”, sem se limitar a um valor (divergente). Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que é um bom jeito de analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa calcular a razão entre os termos consecutivos da série, ou seja, vamos pegar o termo an = n!n^n e o termo an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1. O teste da razão nos diz que precisamos calcular o limite da razão:
L = limn to infty | an+1an |
Vamos calcular an+1:
an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1 = (n+1) cdot n!(n+1)^n+1
Agora, para encontrar a razão:
an+1an = (n+1) cdot n!(n+1)^n+1 cdot n^nn!
Simplificando isso, temos:
an+1an = (n+1) cdot n^n(n+1)^n+1
Vamos refatorar essa última parte. O termo (n+1)^n+1 pode ser escrito como (n+1)^n cdot (n+1). Assim, temos:
an+1an = n^n(n+1)^n
Agora, se a gente isolar essas potências:
n^n(n+1)^n = (nn+1)^n

Passo 3

Agora vem a parte do limite. Precisamos calcular:
L = limn to infty (nn+1)^n
Sabemos que nn+1 se aproxima de 1 conforme n aumenta, mas vamos usar a propriedade de limites mais específica. Lembre-se que (1 - 1n+1)^n se comporta como e^-1 conforme n vai para o infinito. Assim, temos:
L = limn to infty (1 - 1n+1)^n = e^-1

Resposta

Como L = e^-1 < 1, isso indica que a série sumn=1^infty n!n^n é convergente!

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