Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?

Passo 1

Vamos resumir a questão. Temos um fazendeiro que quer cercar um pasto retangular e ele tem 1000 m de cerca disponível. Como um dos lados mais compridos do pasto está na margem do rio, não precisamos cercá-lo. O objetivo aqui é descobrir qual deve ser a largura do pasto para que a área dele seja máxima. Isso envolve um pouco de matemática, especificamente o uso de fórmulas e otimização, um conceito onde tentamos encontrar o maior ou menor valor de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as medidas do pasto. Vamos chamar a largura do pasto de e o comprimento (o lado que não está na margem do rio) de . Como só precisamos cercar três lados, podemos representar a quantidade total de cerca usada pela seguinte equação:
Isso significa que o comprimento mais duas vezes a largura são iguais a 1000 m. Agora, precisamos expressar a área do retângulo, que é dada pela fórmula:
Neste caso, para poder otimizar essa área, precisamos expressar em termos de . Podemos fazer isso usando a equação da cerca:
Substituindo na fórmula da área, fica assim:

Passo 3

Agora que temos a área em função de , vamos expandir essa expressão:
Essa é uma função quadrática, onde o coeficiente de é negativo, indicando que a parábola abre para baixo e, portanto, tem um máximo. Para encontrar esse máximo, vamos usar a fórmula do vértice, que é dada por , onde . No nosso caso, e .
Então, calculando:

Resposta

A largura do pasto deve ser de 250 m para que a área seja máxima.

Exercícios relacionados

Dada a função , faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,
Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
d)
Calcule os limites
Determine se a série é convergente ou divergente.