Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?
Passo 1
Vamos resumir a questão. Temos um fazendeiro que quer cercar um pasto retangular e ele tem 1000 m de cerca disponível. Como um dos lados mais compridos do pasto está na margem do rio, não precisamos cercá-lo. O objetivo aqui é descobrir qual deve ser a largura do pasto para que a área dele seja máxima. Isso envolve um pouco de matemática, especificamente o uso de fórmulas e otimização, um conceito onde tentamos encontrar o maior ou menor valor de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as medidas do pasto. Vamos chamar a largura do pasto de
e o comprimento (o lado que não está na margem do rio) de
. Como só precisamos cercar três lados, podemos representar a quantidade total de cerca usada pela seguinte equação:
Isso significa que o comprimento mais duas vezes a largura são iguais a 1000 m. Agora, precisamos expressar a área
do retângulo, que é dada pela fórmula:
Neste caso, para poder otimizar essa área, precisamos expressar
em termos de
. Podemos fazer isso usando a equação da cerca:
Substituindo
na fórmula da área, fica assim:
Passo 3
Agora que temos a área em função de
, vamos expandir essa expressão:
Essa é uma função quadrática, onde o coeficiente de
é negativo, indicando que a parábola abre para baixo e, portanto, tem um máximo. Para encontrar esse máximo, vamos usar a fórmula do vértice, que é dada por
, onde
. No nosso caso,
e
.
Então, calculando:
Resposta
A largura do pasto deve ser de 250 m para que a área seja máxima.
Exercícios relacionados
Dada a função
, faça a análise completa: intervalos em que a função é crescente e decrescente,
Exercício 10: Faça o gráfico de cada função.
d)
d)
Calcule os limites
Determine se a série é convergente ou divergente.