Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais comprido do pasto fica na margem de um rio (portanto, não precisa de cerca), pede-se:
Qual deve ser o valor da largura para que a área seja máxima?

Passo 1

Vamos resumir a questão. Temos um fazendeiro que quer cercar um pasto retangular e ele tem 1000 m de cerca disponível. Como um dos lados mais compridos do pasto está na margem do rio, não precisamos cercá-lo. O objetivo aqui é descobrir qual deve ser a largura do pasto para que a área dele seja máxima. Isso envolve um pouco de matemática, especificamente o uso de fórmulas e otimização, um conceito onde tentamos encontrar o maior ou menor valor de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as medidas do pasto. Vamos chamar a largura do pasto de L e o comprimento (o lado que não está na margem do rio) de C. Como só precisamos cercar três lados, podemos representar a quantidade total de cerca usada pela seguinte equação:
C + 2L = 1000
Isso significa que o comprimento mais duas vezes a largura são iguais a 1000 m. Agora, precisamos expressar a área A do retângulo, que é dada pela fórmula:
A = C times L
Neste caso, para poder otimizar essa área, precisamos expressar C em termos de L. Podemos fazer isso usando a equação da cerca:
C = 1000 - 2L
Substituindo C na fórmula da área, fica assim:
A = (1000 - 2L) times L

Passo 3

Agora que temos a área em função de L, vamos expandir essa expressão:
A = 1000L - 2L^2
Essa é uma função quadrática, onde o coeficiente de L^2 é negativo, indicando que a parábola abre para baixo e, portanto, tem um máximo. Para encontrar esse máximo, vamos usar a fórmula do vértice, que é dada por L = -b2a, onde A = ax^2 + bx + c. No nosso caso, a = -2 e b = 1000.
Então, calculando:
L = -10002 times -2 = 10004 = 250

Resposta

A largura do pasto deve ser de 250 m para que a área seja máxima.

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