Calcule os limites: lim (x, y) (1,1) ln |1+x^2 y^2|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite da função ln |1 + x^2 y^2| quando (x, y) se aproxima de (1, 1). Para isso, vamos precisar conhecer sobre limites de funções de duas variáveis e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Vamos começar avaliando o que acontece dentro do logaritmo quando (x, y) se aproxima de (1, 1). Substituímos x e y por 1 na expressão 1 + x^2 y^2:
1 + (1)^2 cdot (1)^2 = 1 + 1 cdot 1 = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora que sabemos que 1 + x^2 y^2 se aproxima de 2 quando (x, y) (1, 1), podemos aplicar o logaritmo natural nessa aproximação. Sabemos que o logaritmo é uma função contínua, ou seja, podemos trocar o limite pelo valor da função no ponto:
ln |1 + x^2 y^2| ln |2| = ln 2

Resposta

O limite é ln 2.

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