Encontre os pontos críticos da função e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas possibilidades:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los. Para isso, usamos a segunda derivada, , que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Vamos calcular a segunda derivada de :

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
  1. Para :
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Nesse caso, podemos usar o teste da primeira derivada ou analisar a variação do sinal da primeira derivada em torno de .
Vamos observar a derivada:
Para próximo a 0:
  • Se , digamos :
  • Se , digamos :
A derivada é positiva em ambos os lados de , o que indica que não há mudança de concavidade. Portanto, não é nem máximo nem mínimo relativo.
  1. Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Nenhum máximo ou mínimo relativo.
  • : Mínimo relativo.

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