Encontre os pontos críticos da função
e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de
onde a derivada da função
é igual a zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
:
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
⇒ -
⇒
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los. Para isso, usamos a segunda derivada,
, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para
:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Nesse caso, podemos usar o teste da primeira derivada ou analisar a variação do sinal da primeira derivada em torno de
.
Vamos observar a derivada:
Para
próximo a 0:
- Se
, digamos : - Se
, digamos :
A derivada é positiva em ambos os lados de
, o que indica que não há mudança de concavidade. Portanto,
não é nem máximo nem mínimo relativo.
- Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Nenhum máximo ou mínimo relativo. -
: Mínimo relativo.