Encontre os pontos críticos da função e classifique-os em máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos críticos da função e classificar cada um como máximo relativo, mínimo relativo ou nenhum dos dois. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Podemos fatorar essa expressão:
Isso nos dá duas possibilidades:
⇒
⇒
Então, os pontos críticos são e .
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, precisamos classificá-los. Para isso, usamos a segunda derivada, , que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Vamos calcular a segunda derivada de :
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
Para :
Quando , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Nesse caso, podemos usar o teste da primeira derivada ou analisar a variação do sinal da primeira derivada em torno de .
Vamos observar a derivada:
Para próximo a 0:
Se , digamos :
Se , digamos :
A derivada é positiva em ambos os lados de , o que indica que não há mudança de concavidade. Portanto, não é nem máximo nem mínimo relativo.
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um mínimo relativo.