Determine as integrais: integral x^2-3 x+5x^3-5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve cálculo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de divisão polinomial e fracionamento em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que o grau do numerador ( ) é igual ao do denominador ( ), então não precisamos dividir. Mas vamos fatorar o denominador para facilitar.

Passo 3

Fatorando o denominador x^3 - 5x^2 = x^2(x - 5) , podemos tirar um fator comum:
integral x^2 - 3x + 5x^2(x - 5) , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
x^2 - 3x + 5x^2(x - 5) = Ax + Bx^2 + Cx - 5
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x^2 - 3x + 5 = A x (x - 5) + B (x - 5) + C x^2 para eliminar os denominadores:
x^2 - 3x + 5 = (A + C)x^2 + (-5A + B)x - 5B
Expandindo e coletando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de A + C = 1 -5A + B = -3 -5B = 5 dos dois lados da equação:
Resolvendo essas equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos integral ( 25x + -1x^2 + 35x - 5 ) , dx , 25 integral 1x , dx - integral 1x^2 , dx + 35 integral 1x - 5 , dx e , podemos reescrever a integral:
Que simplifica para:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Assim, a integral é:
25 ln|x| + 1x + 35 ln|x - 5| + C
onde é a constante de integração.

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