Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve cálculo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de divisão polinomial e fracionamento em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que o grau do numerador () é igual ao do denominador (), então não precisamos dividir. Mas vamos fatorar o denominador para facilitar.
Passo 3
Fatorando o denominador , podemos tirar um fator comum:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e coletando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo essas equações:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos , e , podemos reescrever a integral: