Determine as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve cálculo de integrais racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de divisão polinomial e fracionamento em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observa que o grau do numerador ( ) é igual ao do denominador ( ), então não precisamos dividir. Mas vamos fatorar o denominador para facilitar.

Passo 3

Fatorando o denominador , podemos tirar um fator comum:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e coletando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação:
Resolvendo essas equações:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na primeira equação:

Passo 7

Agora que temos , e , podemos reescrever a integral:
Que simplifica para:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Assim, a integral é:
onde é a constante de integração.

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