Calcule os limites:
m) lim x 1 raiz[4x-1]raiz[3]x-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 1 raiz[4x-1]raiz[3]x-1 se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de e utilizar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz de índice (raiz[3]x - 1)^14x - 1 como uma potência. Lembrando que , podemos reescrever a expressão original da seguinte forma:
Isso nos ajuda a trabalhar melhor com a expressão, especialmente quando lidamos com limites envolvendo potências.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando se aproxima de 1.
  • Base:
    Quando se aproxima de 1, se aproxima de 1, então a base se aproxima de 0.
  • Expoente:
    Quando se aproxima de 1, se aproxima de 4, então o expoente se aproxima de .
Então, inicialmente, parece que temos uma forma do tipo , o que nos leva a pensar que o limite pode ser 0. Mas precisamos verificar isso com mais cuidado.

Passo 4

Para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Seja ln y = 14x - 1 cdot ln(raiz[3]x - 1) . Tomando o logaritmo de ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de quando se aproxima de 1 e, em seguida, exponentiar o resultado para obter .

Passo 5

Vamos analisar separadamente as duas partes da expressão:
  1. Expoente simplificado:
14x - 1 = x4 - x
Quando 141 - 1 = 13 se aproxima de 1:
ln(raiz[3]x - 1)
  1. Logaritmo da base:
raiz[3]x - 1 approx x - 13
Quando ln(raiz[3]x - 1) approx ln(x - 13) = ln(x - 1) - ln(3) se aproxima de 1, se aproxima de 1, então se aproxima de 0. Sabemos que e que, perto de 1, o logaritmo se comporta como uma função linear. Podemos utilizar a aproximação:
Então:
Quando se aproxima de 1, tende a menos infinito ( ).

Passo 6

Agora, juntando as partes:
ln y = x4 - x cdot ln(x - 1) - x4 - x cdot ln(3)
Quando ln y approx 13 cdot ln(x - 1) - 13 cdot ln(3) se aproxima de 1:
Como tende a , o termo dominante é , que também tende a .

Passo 7

Se tende a , então tende a . Portanto, o limite original é 0.

Resposta

0

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