Calcule os limites:
m)
m)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo raízes e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de
e utilizar algumas propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz de índice
como uma potência. Lembrando que
, podemos reescrever a expressão original da seguinte forma:
Isso nos ajuda a trabalhar melhor com a expressão, especialmente quando lidamos com limites envolvendo potências.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando
se aproxima de 1.
-
Base:Quando
se aproxima de 1, se aproxima de 1, então a base se aproxima de 0. -
Expoente:Quando
se aproxima de 1, se aproxima de 4, então o expoente se aproxima de .
Então, inicialmente, parece que temos uma forma do tipo
, o que nos leva a pensar que o limite pode ser 0. Mas precisamos verificar isso com mais cuidado.
Passo 4
Para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Seja
. Tomando o logaritmo de ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
se aproxima de 1 e, em seguida, exponentiar o resultado para obter
.
Passo 5
Vamos analisar separadamente as duas partes da expressão:
- Expoente simplificado:
Quando
se aproxima de 1:
- Logaritmo da base:
Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 1, então
se aproxima de 0. Sabemos que
e que, perto de 1, o logaritmo se comporta como uma função linear. Podemos utilizar a aproximação:
Então:
Quando
se aproxima de 1,
tende a menos infinito (
).
Passo 6
Agora, juntando as partes:
Quando
se aproxima de 1:
Como
tende a
, o termo dominante é
, que também tende a
.
Passo 7
Se
tende a
, então
tende a
. Portanto, o limite original é 0.