Determine os extremos relativos de f, se existirem.
d) f(x, y) = sen(x) + sen(y), 0 <= x <= pi, 0 <= y <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos relativos da função no intervalo onde e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e teste da segunda derivada para identificar máximos e mínimos relativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos, ou seja, os valores de e onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Esses pontos são candidatos a serem extremos relativos.
Então, resolvemos:
Sabemos que quando , onde é inteiro. Dentro do intervalo , isso acontece apenas quando:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto crítico :
Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto é um ponto de máximo relativo.

Resposta

A função possui um extremo relativo máximo no ponto .

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