Determine os extremos relativos de
, se existirem.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os extremos relativos da função
no intervalo onde
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e teste da segunda derivada para identificar máximos e mínimos relativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Esses pontos são candidatos a serem extremos relativos.
Então, resolvemos:
Sabemos que
quando
, onde
é inteiro. Dentro do intervalo
, isso acontece apenas quando:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto crítico
:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto
é um ponto de máximo relativo.
Resposta
A função
possui um extremo relativo máximo no ponto
.