Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente descobrir em que região do plano
as condições do Teorema de Existência e Unicidade são válidas para a equação diferencial não linear
. Isso está na área de equações diferenciais, e para resolver precisamos entender o que o teorema exige para garantir que exista uma solução única nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a continuidade da função
. Para o teorema funcionar,
precisa ser contínua na região que estamos analisando. Continuar, nesse contexto, significa que não tem “saltos” ou “interrupções” na função dentro dessa região.
Como
é sempre positivo (exceto no ponto
), elevar isso a
também vai ser contínuo para todos os valores de
e
. Portanto,
é contínua em todo o plano
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a
. Essa condição basicamente garante que a função
não cresce muito rápido em relação a
, o que ajuda a assegurar que a solução da equação diferencial seja única.
Para verificar isso, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Queremos que essa derivada seja limitada na região que estamos analisando. Contudo, como
pode crescer sem limites, a derivada parcial também pode crescer sem limites, o que significa que a condição de Lipschitz não é satisfeita em todo o plano
.
Passo 4
Então, para garantir a condição de Lipschitz, precisamos restringir
a valores onde
seja limitada. Vamos supor que
está em um intervalo fechado, digamos
, onde
é uma constante positiva. Dentro desse intervalo,
será limitada porque tanto
quanto
estarão limitados.
Portanto, a região onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é onde
está limitado por algum valor
, ou seja,
, para algum
.
Resposta
As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas na região do plano
onde
está limitado, isto é, para todos os pontos onde
, com
sendo uma constante positiva.