Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
(d) y' = (t^2 + y^2)^(3/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema está pedindo para a gente descobrir em que região do plano as condições do Teorema de Existência e Unicidade são válidas para a equação diferencial não linear . Isso está na área de equações diferenciais, e para resolver precisamos entender o que o teorema exige para garantir que exista uma solução única nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a continuidade da função . Para o teorema funcionar, precisa ser contínua na região que estamos analisando. Continuar, nesse contexto, significa que não tem “saltos” ou “interrupções” na função dentro dessa região.
Como é sempre positivo (exceto no ponto ), elevar isso a também vai ser contínuo para todos os valores de e . Portanto, é contínua em todo o plano .

Passo 3

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a . Essa condição basicamente garante que a função não cresce muito rápido em relação a , o que ajuda a assegurar que a solução da equação diferencial seja única.
Para verificar isso, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Queremos que essa derivada seja limitada na região que estamos analisando. Contudo, como pode crescer sem limites, a derivada parcial também pode crescer sem limites, o que significa que a condição de Lipschitz não é satisfeita em todo o plano .

Passo 4

Então, para garantir a condição de Lipschitz, precisamos restringir a valores onde seja limitada. Vamos supor que está em um intervalo fechado, digamos , onde é uma constante positiva. Dentro desse intervalo, será limitada porque tanto quanto estarão limitados.
Portanto, a região onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas é onde está limitado por algum valor , ou seja, , para algum .

Resposta

As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas na região do plano onde está limitado, isto é, para todos os pontos onde , com sendo uma constante positiva.

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