Uma injeção de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades, e R = x^2 * y^3 * (c - x - y), onde c é uma constante positiva. Que quantidade de cada droga causará a resposta máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a quantidade de duas drogas, A e B, que maximiza a resposta do organismo, representada por . A função que relaciona as quantidades de A ( ) e B ( ) com a resposta é , onde é uma constante positiva. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções de duas variáveis, para resolver isso. Precisamos encontrar os valores de e que fazem ser o maior possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para maximizar essa função, precisamos encontrar seus pontos críticos. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois igualá-las a zero. As derivadas parciais nos mostram como muda quando variamos apenas ou apenas .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Simplificando:

Passo 4

Vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como e não podem ser zero (pois as doses não fazem sentido serem zero), simplificamos:
Para a primeira equação:
Dividindo tudo por (já que ):
Para a segunda equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A quantidade que maximiza a resposta é mg da droga A e mg da droga B.

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