Uma injeção de x mg da droga A e y mg da droga B causa uma resposta de R unidades, e
, onde c é uma constante positiva. Que quantidade de cada droga causará a resposta máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a quantidade de duas drogas, A e B, que maximiza a resposta do organismo, representada por
. A função que relaciona as quantidades de A (
) e B (
) com a resposta é
, onde
é uma constante positiva. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização de funções de duas variáveis, para resolver isso. Precisamos encontrar os valores de
e
que fazem
ser o maior possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para maximizar essa função, precisamos encontrar seus pontos críticos. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois igualá-las a zero. As derivadas parciais nos mostram como
muda quando variamos apenas
ou apenas
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
e
não podem ser zero (pois as doses não fazem sentido serem zero), simplificamos:
Para a primeira equação:
Dividindo tudo por
(já que
):
Para a segunda equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A quantidade que maximiza a resposta é
mg da droga A e
mg da droga B.