Calcule os limites ou mostre que não existem: lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^2+y^2
Estamos lidando com um limite de função de duas variáveis ( e ) quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece se nos aproximarmos do ponto x^4-0^2x^2+0^2 = x^4x^2 = x^2 ao longo de alguns caminhos simples. Um caminho comum é deixar limx to 0 x^2 = 0 , ou seja, aproximar-se ao longo do eixo .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de 0^4-y^20^2+y^2 = -y^2y^2 = -1 . Que tal deixar limy to 0 (-1) = -1 , ou seja, nos aproximar ao longo do eixo ?
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de , o limite é .

Passo 4

Agora, observamos que ao aproximar-se de dois caminhos diferentes ( x^4 - (kx)^2x^2 + (kx)^2 = x^4 - k^2x^2x^2(1 + k^2) = x^2 - k^21 + k^2 e limx to 0 x^2 - k^21 + k^2 = 0 - k^21 + k^2 = -k^21 + k^2 ), obtivemos limites diferentes (0 e , respectivamente). Isso já sugere que o limite geral pode não existir, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.
Mas vamos confirmar isso usando um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Portanto, diferentes valores de levam a diferentes limites.

Resposta

Como o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de lim (x, y) (0,0) x^4-y^2x^2+y^2 , o limite
não existe.

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