Calcule os limites ou mostre que não existem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com um limite de função de duas variáveis (
e
) quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece se nos aproximarmos do ponto
ao longo de alguns caminhos simples. Um caminho comum é deixar
, ou seja, aproximar-se ao longo do eixo
.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de
, o limite é 0.
Passo 3
Vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de
. Que tal deixar
, ou seja, nos aproximar ao longo do eixo
?
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de
, o limite é
.
Passo 4
Agora, observamos que ao aproximar-se de dois caminhos diferentes (
e
), obtivemos limites diferentes (0 e
, respectivamente). Isso já sugere que o limite geral pode não existir, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.
Mas vamos confirmar isso usando um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é 0. - Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Portanto, diferentes valores de
levam a diferentes limites.
Resposta
Como o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
, o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Faça o que se pede em cada item: Calcule o limite a seguir:
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
24.
24.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)
Faça o que se pede: Determine as derivadas parciais mistas de segunda ordem para a seguinte função: