Calcule os limites ou mostre que não existem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com um limite de função de duas variáveis ( e ) quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece se nos aproximarmos do ponto ao longo de alguns caminhos simples. Um caminho comum é deixar , ou seja, aproximar-se ao longo do eixo .
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de . Que tal deixar , ou seja, nos aproximar ao longo do eixo ?
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao nos aproximarmos ao longo de , o limite é .

Passo 4

Agora, observamos que ao aproximar-se de dois caminhos diferentes ( e ), obtivemos limites diferentes (0 e , respectivamente). Isso já sugere que o limite geral pode não existir, pois valores diferentes são obtidos dependendo do caminho escolhido.
Mas vamos confirmar isso usando um caminho mais geral, por exemplo, , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Esse resultado depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é 0.
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Portanto, diferentes valores de levam a diferentes limites.

Resposta

Como o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de , o limite
não existe.

Exercícios relacionados

Faça o que se pede em cada item: Calcule o limite a seguir:
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
24.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine, também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e/ou côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo. (b)
Faça o que se pede: Determine as derivadas parciais mistas de segunda ordem para a seguinte função: