Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
24.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que temos. A equação diferencial é:
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa equação é exata. Se for exata, vamos resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial sobre equações exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
Essas são as funções que estão multiplicando e na equação.

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se as derivadas parciais de em relação a e de em relação a são iguais. Em outras palavras, precisamos ver se:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais que encontramos:
Como elas são iguais, isso significa que a equação diferencial é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:

Passo 9

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Calculando a derivada:
Igualando a :
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos integrar para encontrar :
Usando integração por partes ( , ):

Passo 11

Finalmente, substituímos de volta em :
Para a solução geral, igualamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

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