Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
24.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que temos. A equação diferencial é:
O que precisamos fazer aqui é verificar se essa equação é exata. Se for exata, vamos resolvê-la. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial sobre equações exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Vamos chamar:
Essas são as funções que estão multiplicando
e
na equação.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
são iguais. Em outras palavras, precisamos ver se:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.
Passo 4
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais que encontramos:
Como elas são iguais, isso significa que a equação diferencial é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Passo 8
Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Passo 9
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Calculando a derivada:
Igualando a
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Usando integração por partes (
,
):
Passo 11
Finalmente, substituímos
de volta em
:
Para a solução geral, igualamos
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Faça o que se pede em cada item: Encontre
, tal que
, quando
Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
com
Faça o que se pede em cada item: Calcule o limite a seguir:
Calcule os limites ou mostre que não existem: