Calcule os limites.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito de
. Aqui, vamos usar conceitos de limites e análise de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento está bem perto de zero e aplicar isso no contexto do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
vai para menos infinito. Se
, então
. Isso significa que o argumento do cosseno está se aproximando de zero.
Passo 3
Sabemos que quando o ângulo de um cosseno está muito próximo de zero, podemos usar uma aproximação de série de Taylor para simplificar. A série de Taylor para
perto de
é:
Isso significa que:
Passo 4
Aplicando essa aproximação no nosso caso, onde
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação de volta na expressão original do limite:
Passo 6
Finalmente, analisamos o comportamento de
quando
. Sabemos que:
Resposta
O limite
é igual a 0.