Calcule os limites.
§ lim alpha -infty alpha(1-cos 1alpha)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a menos infinito de . Aqui, vamos usar conceitos de limites e análise de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento está bem perto de zero e aplicar isso no contexto do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando vai para menos infinito. Se , então . Isso significa que o argumento do cosseno está se aproximando de zero.

Passo 3

Sabemos que quando o ângulo de um cosseno está muito próximo de zero, podemos usar uma aproximação de série de Taylor para simplificar. A série de Taylor para cos x approx 1 - x^22 perto de 1 - cos x approx x^22 é:
Isso significa que:

Passo 4

Aplicando essa aproximação no nosso caso, onde 1 - cos 1alpha approx (1alpha)^22 = 12alpha^2 , temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação de volta na expressão original do limite:
alpha(1 - cos 1alpha) approx alpha cdot 12alpha^2 = 12alpha

Passo 6

Finalmente, analisamos o comportamento de limalpha to -infty 12alpha = 0 quando . Sabemos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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