Calcule os limites.
§

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a menos infinito de . Aqui, vamos usar conceitos de limites e análise de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento está bem perto de zero e aplicar isso no contexto do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando vai para menos infinito. Se , então . Isso significa que o argumento do cosseno está se aproximando de zero.

Passo 3

Sabemos que quando o ângulo de um cosseno está muito próximo de zero, podemos usar uma aproximação de série de Taylor para simplificar. A série de Taylor para perto de é:
Isso significa que:

Passo 4

Aplicando essa aproximação no nosso caso, onde , temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação de volta na expressão original do limite:

Passo 6

Finalmente, analisamos o comportamento de quando . Sabemos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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(I)
Calcule os limites.
(e)
Encontre os limites no infinito.
§
Seja a função definida por parte, dada por
Existe o limite ? Se sim, qual o seu valor?