Encontre os limites no infinito.
§ lim x +infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite quando lim x +infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x tende ao infinito da expressão:
Isso envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de potências fracionárias. Vamos precisar entender como as diferentes raízes de se comportam conforme cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as raízes usando expoentes fracionários para facilitar a comparação:
raiz[3]x = x^1/3 e raiz[5]x = x^1/5
Agora, a expressão fica:
x^1/3 - x^1/5x^1/3 + x^1/5

Passo 3

Quando tende ao infinito, as potências de determinam o comportamento da função. Sabemos que, entre e , o cresce mais rápido porque o expoente é maior.
Isso significa que, para valores muito grandes de , o termo vai dominar sobre .

Passo 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por x^1/3 - x^1/5x^1/3 + x^1/5 = 1 - x^1/5 - 1/31 + x^1/5 - 1/3 , que é o termo dominante:
1/5 - 1/3 = 3 - 515 = -215
Calculando a diferença dos expoentes:
1 - x^-2/151 + x^-2/15
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de x^-2/15 0 quando x +infty quando tende ao infinito. Como o expoente é negativo, tende a zero:

Passo 6

Substituindo esse limite na expressão simplificada:
1 - 01 + 0 = 11 = 1

Resposta

lim x +infty raiz[3]x-raiz[5]xraiz[3]x+raiz[5]x = 1

Exercícios relacionados