Encontre os limites no infinito.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite quando
tende ao infinito da expressão:
Isso envolve conceitos de limites no infinito e manipulação de potências fracionárias. Vamos precisar entender como as diferentes raízes de
se comportam conforme
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as raízes usando expoentes fracionários para facilitar a comparação:
Agora, a expressão fica:
Passo 3
Quando
tende ao infinito, as potências de
determinam o comportamento da função. Sabemos que, entre
e
, o
cresce mais rápido porque o expoente é maior.
Isso significa que, para valores muito grandes de
, o termo
vai dominar sobre
.
Passo 4
Vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é o termo dominante:
Calculando a diferença dos expoentes:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como o expoente é negativo,
tende a zero:
Passo 6
Substituindo esse limite na expressão simplificada: