Seja a função definida por parte, dada por
g(x)=lr x^3+x-2, & x<1 2, & x=1 x^2+2 x-3, & x>1
Existe o limite lim x 1 g(x) ? Se sim, qual o seu valor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é sobre verificar se o limite da função quando se aproxima de 1 existe, e se existir, qual é o valor desse limite. Para isso, precisamos entender os conceitos de limite lateral e limite da função em pontos específicos. Vamos precisar avaliar o comportamento da função à esquerda e à direita de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões que definem para valores de menores que 1 e maiores que 1.
  • Para , temos .
  • Para , temos .
Neste caso, o valor de quando não interfere no limite, pois o limite considera apenas o comportamento próximo a 1, não necessariamente o valor exato em 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite pelo lado esquerdo, ou seja, quando limx to 1^- g(x) = limx to 1^- (x^3 + x - 2) se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1. Usamos a expressão 1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 :
Substituindo :
Então, o limite pela esquerda é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pelo lado direito, ou seja, quando limx to 1^+ g(x) = limx to 1^+ (x^2 + 2x - 3) se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1. Usamos a expressão 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 :
Substituindo :
Então, o limite pela direita também é 0.

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a 0.

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