Seja
compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos
como uma chapa delgada. Por uma função densidade superficial de massa associada a
entendemos uma função
, contínua e positiva, tal que, para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está falando. Temos um conjunto
que está dentro de
(ou seja, no plano), e ele é compacto, o que significa que é fechado e limitado. Além disso, a fronteira de
tem conteúdo nulo, tipo uma borda sem “peso”. Imagina
como uma chapa fininha. A gente quer falar sobre a densidade superficial de massa dessa chapa, que é uma função
que nos diz quanta massa tem em cada ponto da chapa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e ideia de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de densidade superficial de massa. A função
atribui um valor de massa a cada ponto
dentro de
. Essa função é contínua e positiva, o que significa que ela não tem saltos e toda parte da chapa tem massa.
Passo 3
Agora, o exercício diz que para qualquer subconjunto
de
, a massa de
é dada por uma integral dupla:
Vamos quebrar isso: a integral dupla está somando toda a massa nas pequenas “partes” de
. Cada pedacinho com área
tem uma massa
, e somando tudo isso dá a massa total de
.
Passo 4
Para trabalhar com isso, a gente precisa entender como calcular uma integral dupla. Basicamente, a gente vai integrar
sobre toda a área de
. Se
tiver limites específicos, vamos ajustar os limites da integral de acordo.
Passo 5
Se precisar calcular a massa total da chapa
, basta considerar
, então a massa total será:
Isso nos dá a massa de toda a chapa, somando a contribuição de cada ponto.
Resposta
Explicamos que a massa de qualquer subconjunto
da chapa
é calculada integrando a função de densidade superficial
sobre a região de
: