Seja B subset R^2, B compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Imaginemos B como uma chapa delgada. Por uma função densidade superficial de massa associada a B entendemos uma função de, contínua e positiva, tal que, para todo B1 subset B,
massa de B1=integral duplaB1 de

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está falando. Temos um conjunto que está dentro de (ou seja, no plano), e ele é compacto, o que significa que é fechado e limitado. Além disso, a fronteira de tem conteúdo nulo, tipo uma borda sem “peso”. Imagina como uma chapa fininha. A gente quer falar sobre a densidade superficial de massa dessa chapa, que é uma função que nos diz quanta massa tem em cada ponto da chapa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e ideia de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de densidade superficial de massa. A função atribui um valor de massa a cada ponto dentro de . Essa função é contínua e positiva, o que significa que ela não tem saltos e toda parte da chapa tem massa.

Passo 3

Agora, o exercício diz que para qualquer subconjunto massa de B1 = integral duplaB1 de de , a massa de é dada por uma integral dupla:
Vamos quebrar isso: a integral dupla está somando toda a massa nas pequenas “partes” de . Cada pedacinho com área tem uma massa , e somando tudo isso dá a massa total de .

Passo 4

Para trabalhar com isso, a gente precisa entender como calcular uma integral dupla. Basicamente, a gente vai integrar sobre toda a área de . Se tiver limites específicos, vamos ajustar os limites da integral de acordo.

Passo 5

Se precisar calcular a massa total da chapa massa total = integral duplaB de, basta considerar , então a massa total será:
Isso nos dá a massa de toda a chapa, somando a contribuição de cada ponto.

Resposta

Explicamos que a massa de qualquer subconjunto massa de B1 = integral duplaB1 de da chapa é calculada integrando a função de densidade superficial sobre a região de :

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