Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma fração que parece não ter uma resposta direta quando substituímos
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com quocientes indeterminados. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é de uma forma indeterminada e, se for, aplicar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado substituindo
diretamente na expressão:
Substituindo
:
Vimos que obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos usar uma técnica especial para resolver esse limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de
quando
tende a um valor dá
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
Então, a derivada do numerador é
.
- Derivada do denominador
:
Então, a derivada do denominador é
.
Agora, temos um novo limite:
Passo 5
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Em Economia, chama-se utilidade de um consumidor ao grau de satisfação que este adquire ao consumir um ou mais bens ou serviços. Suponhamos que um consumidor tenha a seguinte função utilidade:
em que é a quantidade consumida do bem I e
a quantidade consumida do bem II. Suponha que, no início, ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II.
(b) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 unidades, qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de satisfação?
em que
(b) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 unidades, qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de satisfação?
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: (a) Todo quadrado é um polígono de lados congruentes.
Calcule os limites no infinito.
(f)
(f)
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: ©
, para quaisquer
e
reais.