Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma fração que parece não ter uma resposta direta quando substituímos . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com quocientes indeterminados. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é de uma forma indeterminada e, se for, aplicar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado substituindo diretamente na expressão:
Substituindo :
Vimos que obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar uma técnica especial para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de quando tende a um valor dá ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
Então, a derivada do numerador é .
  • Derivada do denominador :
Então, a derivada do denominador é .
Agora, temos um novo limite:

Passo 5

Vamos calcular esse novo limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Em Economia, chama-se utilidade de um consumidor ao grau de satisfação que este adquire ao consumir um ou mais bens ou serviços. Suponhamos que um consumidor tenha a seguinte função utilidade:

em que é a quantidade consumida do bem I e a quantidade consumida do bem II. Suponha que, no início, ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II.
(b) Se o consumidor aumentar o consumo do produto I para 12 unidades, qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nível de satisfação?
Verifique se a recíproca de cada proposição abaixo é válida. Em caso afirmativo, enuncie essa recíproca de, pelo menos, duas maneiras distintas: (a) Todo quadrado é um polígono de lados congruentes.
Calcule os limites no infinito.
(f)
Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: © , para quaisquer e reais.