Calcule os limites de quocientes indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma fração que parece não ter uma resposta direta quando substituímos
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com quocientes indeterminados. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é de uma forma indeterminada e, se for, aplicar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite dado substituindo
diretamente na expressão:
Substituindo
:
Vimos que obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos usar uma técnica especial para resolver esse limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de
quando
tende a um valor dá
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
Então, a derivada do numerador é
.
- Derivada do denominador
:
Então, a derivada do denominador é
.
Agora, temos um novo limite:
Passo 5
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.