Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(h) lim t 1 t^-1-1t-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma fração que parece não ter uma resposta direta quando substituímos . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites, especificamente lidando com quocientes indeterminados. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é de uma forma indeterminada e, se for, aplicar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite dado substituindo limt 1 t^-1 - 1t - 1 diretamente na expressão:
1^-1 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00
Substituindo :
Vimos que obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos usar uma técnica especial para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra diz que, se o limite de quando tende a um valor dá ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddt(t^-1) = -t^-2 :
ddt(1) = 0
ddt(t) = 1
Então, a derivada do numerador é ddt(-1) = 0 .
  • Derivada do denominador limt 1 -t^-21 :
Então, a derivada do denominador é .
Agora, temos um novo limite:

Passo 5

Vamos calcular esse novo limite substituindo -1^-21 = -11 = -1 :

Resposta

O limite é igual a .

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