Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: ©
, para quaisquer
e
reais.
Passo 1
Então, a gente tem uma proposição que diz que para quaisquer números reais
e
, a igualdade
é verdadeira. Nosso objetivo aqui é encontrar um exemplo específico que mostre que essa igualdade nem sempre funciona. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente a expansão de expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir o quadrado de uma soma. A fórmula geral para
é:
Isso significa que, ao expandir
, além de
e
, temos também o termo
.
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com o lado direito da proposição, que é
. Observamos que a igualdade
só seria verdadeira se o termo
fosse igual a zero. Ou seja,
. Isso acontece apenas quando pelo menos um dos números
ou
é zero.
Passo 4
Para encontrar um contraexemplo, basta escolher valores para
e
onde ambos não são zero. Vamos usar, por exemplo,
e
.
Passo 5
Calculando
:
E calculando
:
Vemos que
, ou seja, a igualdade não se sustenta.
Resposta
Um contraexemplo é
e
, pois
que é diferente de
.
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: (d)
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