Encontre um contraexemplo para as seguintes proposições. Lembre-se de que um contraexemplo é um exemplo explícito, que contraria uma afirmação: © , para quaisquer e reais.

Passo 1

Então, a gente tem uma proposição que diz que para quaisquer números reais e , a igualdade é verdadeira. Nosso objetivo aqui é encontrar um exemplo específico que mostre que essa igualdade nem sempre funciona. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente a expansão de expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir o quadrado de uma soma. A fórmula geral para é:
Isso significa que, ao expandir , além de e , temos também o termo .

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com o lado direito da proposição, que é . Observamos que a igualdade só seria verdadeira se o termo fosse igual a zero. Ou seja, . Isso acontece apenas quando pelo menos um dos números ou é zero.

Passo 4

Para encontrar um contraexemplo, basta escolher valores para e onde ambos não são zero. Vamos usar, por exemplo, e .

Passo 5

Calculando :
E calculando :
Vemos que , ou seja, a igualdade não se sustenta.

Resposta

Um contraexemplo é e , pois que é diferente de .

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