Calcule os limites:
r) lim x 0 sen(7 x)sen(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está no campo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções seno se comportam perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra bem útil: quando está bem perto de 0, é aproximadamente igual a . Isso porque o seno de um ângulo pequenininho é quase igual ao próprio ângulo (em radianos). Então, podemos substituir por e por .

Passo 3

Substituindo na expressão, ficamos com:
sin(7x)sin(3x) approx 7x3x
Agora, os 7x3x = 73 no numerador e denominador se cancelam:

Passo 4

Como fizemos essa aproximação válida para limx 0 sin(7x)sin(3x) = 73 muito próximo de 0, podemos concluir que o limite realmente se aproxima desse valor:

Resposta

O limite é .

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