Calcule as seguintes integrais duplas: (i) onde é a região limitada pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é a região delimitada pelas retas , , e .
Matéria envolvida: Integrais duplas e mudança de variável.
O que vamos precisar:
Entender como mudar de coordenadas para simplificar a integral.
Calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variável.
Integrar funções simples após a mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As retas que delimitam são:
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável:
Por que essa mudança? Porque as equações das retas se tornam mais simples em termos de e , transformando a região em um retângulo no plano .
Passo 3
Agora, vamos resolver as equações para expressar e em termos de e :
Somando e subtraindo essas equações, temos:
Importante: Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a medida de área na nova coordenada.
Passo 4
Calculando o Jacobiano :
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 5
Vamos definir os novos limites de integração em termos de u = 1 e u = 4 v = -1 e v = 1 e 1 <= u <= 4 -1 <= v <= 1 . As retas se transformam em:
Então, a região no plano é um retângulo onde:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaD(x+y)^2 e^x-y , dx , dy = integralu=1^4 integralv=-1^1 u^2 e^v times |12| , dv , du e = 12 integral1^4 integral-1^1 u^2 e^v , dv , du :
Explicação: Substituímos e , e ajustamos a integral com o Jacobiano.
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a integral-1^1 e^v , dv = e^v gr|-1^1 = e^1 - e^-1 = e - 1e :
Passo 8
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
12 integral1^4 u^2 (e - 1e) , du = e - 1e2 integral1^4 u^2 , du
Passo 9
Calculamos agora a integral em relação a integral1^4 u^2 , du = u^33|1^4 = 4^33 - 1^33 = 643 - 13 = 633 = 21 :
Passo 10
Finalmente, substituímos de volta para encontrar a resposta: