Calcule as seguintes integrais duplas: (i) integral duplaD(x+y)^2 e^x-y d x d y onde D é a região limitada pelas curvas y+x=1, y+x=4, x-y=-1 e x-y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde é a região delimitada pelas retas , , e .
Matéria envolvida: Integrais duplas e mudança de variável.
O que vamos precisar:
  • Entender como mudar de coordenadas para simplificar a integral.
  • Calcular o determinante Jacobiano para a mudança de variável.
  • Integrar funções simples após a mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região u = x + y e v = x - y . As retas que delimitam são:
Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável:
Por que essa mudança? Porque as equações das retas se tornam mais simples em termos de e , transformando a região em um retângulo no plano .

Passo 3

Agora, vamos resolver as equações para expressar u = x + y v = x - y e x = u + v2 y = u - v2 em termos de e :
Somando e subtraindo essas equações, temos:
Importante: Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a medida de área na nova coordenada.

Passo 4

Calculando o Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = (12 times -12) - (12 times 12) = -14 - 14 = -12 :
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 5

Vamos definir os novos limites de integração em termos de u = 1 e u = 4 v = -1 e v = 1 e 1 <= u <= 4 -1 <= v <= 1 . As retas se transformam em:
Então, a região no plano é um retângulo onde:

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaD(x+y)^2 e^x-y , dx , dy = integralu=1^4 integralv=-1^1 u^2 e^v times |12| , dv , du e = 12 integral1^4 integral-1^1 u^2 e^v , dv , du :
Explicação: Substituímos e , e ajustamos a integral com o Jacobiano.

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a integral-1^1 e^v , dv = e^v gr|-1^1 = e^1 - e^-1 = e - 1e :

Passo 8

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
12 integral1^4 u^2 (e - 1e) , du = e - 1e2 integral1^4 u^2 , du

Passo 9

Calculamos agora a integral em relação a integral1^4 u^2 , du = u^33|1^4 = 4^33 - 1^33 = 643 - 13 = 633 = 21 :

Passo 10

Finalmente, substituímos de volta para encontrar a resposta:
e - 1e2 times 21 = 212 (e - 1e)

Resposta

A integral dupla vale .

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