y'' + 3 t y' + t^2 y = 0, -infinito < t < infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente estuda como funções e suas derivadas se relacionam. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução para equações de coeficientes variáveis, já que os termos têm que muda.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que essa é uma equação diferencial linear e homogênea de segunda ordem. Isso significa que podemos tentar encontrar soluções usando métodos como o de coeficientes indeterminados ou variar os parâmetros. Mas, devido aos coeficientes que dependem de , vamos optar por uma abordagem mais direta.

Passo 3

Uma estratégia é buscar uma solução por meio de séries de potências, assumindo que a solução pode ser expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Vamos supor que nossa solução tem a forma:
Onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 5

Vamos alinhar os termos para que todos tenham o mesmo poder de . Vamos redefinir os índices das somas para que todas comecem com :
Agora, ajustamos os índices:

Passo 6

Agora, combinamos as somas para termos do mesmo grau de :
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes .

Passo 7

Vamos resolver a relação de recorrência:
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Com essa relação, podemos expressar todos os coeficientes em termos de e , que são as constantes que determinam a solução geral. Isso significa que a solução da equação diferencial pode ser representada como uma série de potências cujo comportamento depende desses coeficientes iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial pode ser expressa como uma série de potências:
onde os coeficientes são determinados pela relação de recorrência:
Com e sendo constantes arbitrárias que definem a solução geral.

Exercícios relacionados