Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é
. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais, onde a gente estuda como funções e suas derivadas se relacionam. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de solução para equações de coeficientes variáveis, já que os termos têm
que muda.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que essa é uma equação diferencial linear e homogênea de segunda ordem. Isso significa que podemos tentar encontrar soluções usando métodos como o de coeficientes indeterminados ou variar os parâmetros. Mas, devido aos coeficientes que dependem de
, vamos optar por uma abordagem mais direta.
Passo 3
Uma estratégia é buscar uma solução por meio de séries de potências, assumindo que a solução pode ser expressa como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Vamos supor que nossa solução tem a forma:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas expressões na equação original:
Passo 5
Vamos alinhar os termos para que todos tenham o mesmo poder de
. Vamos redefinir os índices das somas para que todas comecem com
:
Agora, ajustamos os índices:
Passo 6
Agora, combinamos as somas para termos do mesmo grau de
:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 7
Vamos resolver a relação de recorrência:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 8
Com essa relação, podemos expressar todos os coeficientes
em termos de
e
, que são as constantes que determinam a solução geral. Isso significa que a solução da equação diferencial pode ser representada como uma série de potências cujo comportamento depende desses coeficientes iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
pode ser expressa como uma série de potências:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência:
Com
e
sendo constantes arbitrárias que definem a solução geral.