Existe um número
tal que o limite
existe. Determine este valor de
. Em seguida, calcule o limite substituindo o valor de
já determinado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um número real
tal que o limite da expressão
exista. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções racionais e verificar se o denominador se zera quando
se aproxima de 1. Precisamos garantir que o numerador também zere nesse ponto para que o limite não resulte em uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o denominador quando
:
Então, o denominador se anula em
. Para que o limite exista, o numerador também deve ser zero quando
. Vamos calcular o numerador nessa condição:
Queremos que isso seja igual a zero:
Passo 3
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor na expressão original e calcular o limite:
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Primeiro, o denominador:
Agora, o numerador com
:
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Assim, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O valor de
é
e o limite é
.