Existe um número a in R tal que o limite
lim x 1 3 x^2+a x+2 ax^2+x-2
existe. Determine este valor de a. Em seguida, calcule o limite substituindo o valor de a já determinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos um número real lim x 1 3 x^2+a x+2 ax^2+x-2 tal que o limite da expressão
exista. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites de funções racionais e verificar se o denominador se zera quando se aproxima de 1. Precisamos garantir que o numerador também zere nesse ponto para que o limite não resulte em uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o denominador quando x^2 + x - 2 = (1)^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 :
3x^2 + a x + 2a quando x = 1 Rightarrow 3(1)^2 + a(1) + 2a = 3 + a + 2a = 3 + 3a
Então, o denominador se anula em 3 + 3a = 0 Rightarrow 3a = -3 Rightarrow a = -1 . Para que o limite exista, o numerador também deve ser zero quando . Vamos calcular o numerador nessa condição:
Queremos que isso seja igual a zero:

Passo 3

Agora que encontramos lim x 1 3 x^2 - x - 2x^2+x-2 , vamos substituir esse valor na expressão original e calcular o limite:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Primeiro, o denominador:
3x^2 - x - 2
Agora, o numerador com 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x(x - 1) + 2(x - 1) = (3x + 2)(x - 1) :
(3x + 2)(x - 1)(x + 2)(x - 1) = 3x + 2x + 2 quando x neq 1
Vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 3(1) + 21 + 2 = 53 e somados dão . Esses números são e :
Assim, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O valor de é e o limite é .

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