Calcule os limites seguintes: lim (x, y) (0,0) raizx-1x^2 y^2+x y-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) raizx-1x^2 y^2+x y-1
Estamos lidando com limites em duas variáveis, que é um assunto de cálculo multivariável. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima de . Vamos precisar examinar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles ou se varia, o que nos ajudará a determinar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz para ver se conseguimos entender melhor o comportamento do limite. Observamos que o numerador é x - 1x^2 y^2 + x y - 1 e o denominador é raizx - 1x^2 y^2 + x y - 1 approx raiz1 = 1 .
Nos limites, especialmente quando se aproxima de , queremos ver o que acontece com a função à medida que x e y ficam muito pequenos. Vamos analisar a expressão sem a raiz para facilitar:
Quando e se aproximam de 0, o denominador se aproxima de (porque os termos e se tornam muito pequenos). O numerador se aproxima de . Então, a fração se aproxima de .
Agora, voltando à expressão original com a raiz:

Passo 3

Vamos confirmar esse resultado escolhendo um caminho específico pelo qual lim x 0 raizx - 1x^2 cdot 0^2 + x cdot 0 - 1 = lim x 0 raizx - 1-1 = lim x 0 raiz1 - x se aproxima de raiz1 - x raiz1 = 1 . Um caminho simples é deixar . Substituindo:
Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1, então:
Isso confirma que, pelo menos nesse caminho, o limite é 1.

Passo 4

Para garantir que o limite é realmente 1, precisamos verificar outro caminho. Vamos escolher lim x 0 raizx - 1x^2 cdot x^2 + x cdot x - 1 = lim x 0 raizx - 1x^4 + x^2 - 1 . Substituindo na expressão:
raiz-1-1 = raiz1 = 1
Novamente, quando se aproxima de 0, os termos e se tornam muito pequenos, então o denominador se aproxima de e o numerador de . Portanto:

Passo 5

Como testamos dois caminhos diferentes ( e ) e ambos resultaram no limite sendo 1, é provável que o limite seja realmente 1. Para confirmar completamente, seria necessário testar infinitos caminhos ou usar critérios mais avançados, mas para nosso propósito, isso já dá uma boa indicação.

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados