Calcule os limites seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Estamos lidando com limites em duas variáveis, que é um assunto de cálculo multivariável. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta quando
se aproxima de
. Vamos precisar examinar diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo em todos eles ou se varia, o que nos ajudará a determinar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz para ver se conseguimos entender melhor o comportamento do limite. Observamos que o numerador é
e o denominador é
.
Nos limites, especialmente quando
se aproxima de
, queremos ver o que acontece com a função à medida que x e y ficam muito pequenos. Vamos analisar a expressão sem a raiz para facilitar:
Quando
e
se aproximam de 0, o denominador se aproxima de
(porque os termos
e
se tornam muito pequenos). O numerador se aproxima de
. Então, a fração se aproxima de
.
Agora, voltando à expressão original com a raiz:
Passo 3
Vamos confirmar esse resultado escolhendo um caminho específico pelo qual
se aproxima de
. Um caminho simples é deixar
. Substituindo:
Quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1, então:
Isso confirma que, pelo menos nesse caminho, o limite é 1.
Passo 4
Para garantir que o limite é realmente 1, precisamos verificar outro caminho. Vamos escolher
. Substituindo na expressão:
Novamente, quando
se aproxima de 0, os termos
e
se tornam muito pequenos, então o denominador se aproxima de
e o numerador de
. Portanto:
Passo 5
Como testamos dois caminhos diferentes (
e
) e ambos resultaram no limite sendo 1, é provável que o limite seja realmente 1. Para confirmar completamente, seria necessário testar infinitos caminhos ou usar critérios mais avançados, mas para nosso propósito, isso já dá uma boa indicação.
Resposta
O limite é igual a 1.
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