Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série! A questão pede para a gente decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
Essa é uma série do tipo p com .
Passo 3
A gente sabe que séries p convergem se e divergem se . Aqui, , que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas será que a série original ainda pode ser convergente de forma condicional?
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz). Para isso, precisamos verificar duas coisas:
Os termos estão decrescendo.
.
Passo 6
Decrescimento: é menor que para todo , então está decrescendo.
Limite: .
Passo 7
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série original converge.