Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série! A questão pede para a gente decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos:
Essa é uma série do tipo p com .

Passo 3

A gente sabe que séries p convergem se e divergem se . Aqui, , que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas será que a série original ainda pode ser convergente de forma condicional?

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Critério de Leibniz). Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os termos estão decrescendo.
  2. .

Passo 6

  1. Decrescimento: é menor que para todo , então está decrescendo.
  2. Limite: .

Passo 7

Como os dois critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série original converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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Calcule os limites seguintes:
Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
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Obtenha o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries: