Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n nraizn^2+2

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é descobrir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes que nos ajudarão nessa decisão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série sem o termo alternado sumn=1^infty | (-1)^n nraizn^2+2 | = sumn=1^infty nraizn^2+2 :

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos da série limn to infty nraizn^2+2 = limn to infty nn raiz1 + 2n^2 = 1raiz1 + 0 = 1 conforme aumenta. Para isso, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Como o limite dos termos é 1 (diferente de zero), pela Teste da Divergência, a série diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Apesar de a série original ter termos alternados, para ser condicionalmente convergente ela precisa passar pelo Teste da Série Alternada, que exige que os termos diminuam e que o limite seja zero. Já vimos que o limite dos termos é 1, então a série também não passa nesse teste.

Resposta

A série é divergente.

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