Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries com termos que envolvem fatoriais e exponenciais. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série do tipo analisando o limite da razão entre termos consecutivos:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando um pouco mais:
Passo 5
Agora, vamos tirar o limite quando vai para o infinito:
Sabemos que e . Então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.