Decida se cada série a seguir é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.
sumn=1^infty n^10 10^nn!

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries com termos que envolvem fatoriais e exponenciais. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série do tipo L = limn to infty | an+1an | analisando o limite da razão entre termos consecutivos:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos identificar an = n^10 cdot 10^nn! na nossa série:
an+1 = (n+1)^10 cdot 10^n+1(n+1)!
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an = (n+1)^10 cdot 10^n+1(n+1)! cdot n!n^10 cdot 10^n = (n+1)^10 cdot 10n^10 cdot (n+1) = 10 cdot ( n+1n )^10 cdot 1n+1 :
an+1an = 10 cdot (1 + 1n)^10 cdot 1n+1
Simplificando um pouco mais:

Passo 5

Agora, vamos tirar o limite quando L = limn to infty 10 cdot (1 + 1n)^10 cdot 1n+1 vai para o infinito:
L = 10 cdot 1 cdot 0 = 0
Sabemos que e . Então:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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