Calcule os limites a seguir: (b) L=lim x 0(3^x+2ln (x+e))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para calcular o limite quando L = lim x 0(3^x+2ln (x+e)) se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e logaritmos naturais. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: 3^0 = 1 Rightarrow 3^x approx 1 quando x 0 .
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então:
Portanto, se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: ln(e) = 1 .
Sabemos que é aproximadamente 2,718. Quando se aproxima de 0, se aproxima de , então:
Portanto, se aproxima de 1 quando .

Passo 4

Agora que sabemos que:
lim x 0 3^x + 2 = 3
lim x 0 ln(x + e) = 1
Podemos substituir esses valores na expressão do limite original:
L = 31 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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