Calcule os limites a seguir:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Aqui, a matéria que vamos usar envolve limites de funções exponenciais e trigonométricas, além do Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeezing). Vamos precisar entender como essas funções se comportam quando vai para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função exponencial . Sabemos que, à medida que vai para , se aproxima de 0. Isso porque, quanto mais negativo for , menor será o valor de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A função seno sempre oscila entre -1 e 1, independente do valor de . Ou seja, para qualquer .

Passo 4

Como queremos o limite de , vamos combinar as informações das duas funções. Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por (que é positivo), temos:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Vimos que e ambas tendem a 0 quando tende a . Assim, pela regra, se está “preso” entre duas funções que vão para 0, então ele próprio também tende a 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
© Calcule supondo que .
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água e a quantidade de sal no reservatório são funções do tempo , e portanto a concentração de sal no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
Encontre o domínio da seguinte e a imagem função: .
Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia e terminou 36 horas depois . Os dados puderam ser aproximados pela função , em que indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação à temperatura (em ) no instante .
Determine o domínio e a imagem de .