Calcule os limites a seguir:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Aqui, a matéria que vamos usar envolve limites de funções exponenciais e trigonométricas, além do Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeezing). Vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
vai para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função exponencial
. Sabemos que, à medida que
vai para
,
se aproxima de 0. Isso porque, quanto mais negativo for
, menor será o valor de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A função seno sempre oscila entre -1 e 1, independente do valor de
. Ou seja,
para qualquer
.
Passo 4
Como queremos o limite de
, vamos combinar as informações das duas funções. Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo), temos:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Vimos que
e
ambas tendem a 0 quando
tende a
. Assim, pela regra, se
está “preso” entre duas funções que vão para 0, então ele próprio também tende a 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
© Calcule supondo que
.
© Calcule
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
(b) Calcule o limite
Encontre o domínio da seguinte e a imagem função:
.
Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 36 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura (em
) no instante
.
Determine o domínio e a imagem de .
Determine o domínio e a imagem de