Calcule os limites a seguir:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Aqui, a matéria que vamos usar envolve limites de funções exponenciais e trigonométricas, além do Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeezing). Vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
vai para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função exponencial
. Sabemos que, à medida que
vai para
,
se aproxima de 0. Isso porque, quanto mais negativo for
, menor será o valor de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A função seno sempre oscila entre -1 e 1, independente do valor de
. Ou seja,
para qualquer
.
Passo 4
Como queremos o limite de
, vamos combinar as informações das duas funções. Sabemos que:
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo), temos:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Vimos que
e
ambas tendem a 0 quando
tende a
. Assim, pela regra, se
está “preso” entre duas funções que vão para 0, então ele próprio também tende a 0.