Calcule os limites a seguir:
b) lim x -infty[e^x cdot sen x]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Aqui, a matéria que vamos usar envolve limites de funções exponenciais e trigonométricas, além do Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeezing). Vamos precisar entender como essas funções se comportam quando vai para .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função exponencial . Sabemos que, à medida que vai para , se aproxima de 0. Isso porque, quanto mais negativo for , menor será o valor de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A função seno sempre oscila entre -1 e 1, independente do valor de . Ou seja, para qualquer .

Passo 4

Como queremos o limite de -1 <= sin x <= 1 , vamos combinar as informações das duas funções. Sabemos que:
-e^x <= e^x cdot sin x <= e^x
Multiplicando todos os lados por (que é positivo), temos:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Vimos que e ambas tendem a 0 quando tende a . Assim, pela regra, se está “preso” entre duas funções que vão para 0, então ele próprio também tende a 0.

Resposta

limx -infty [e^x cdot sin x] = 0

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