Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite
, simplificando antes o quociente.
(b) Calcule o limite
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre um reservatório que começa com 50 litros de água pura e é abastecido com água salgada. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada da concentração de sal no reservatório em relação ao tempo, usando o limite definido. Para isso, vamos precisar entender conceitos de taxas de variação e como aplicar a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as funções que descrevem o sistema:
- Volume de água no reservatório,
: O reservatório começa com 50 litros e recebe água a uma taxa de 5 litros por minuto. Então, . - Quantidade de sal no reservatório,
: Inicialmente, não há sal na água. A cada minuto, entram 5 litros de água salgada com 1 grama de sal por litro, ou seja, 5 gramas de sal por minuto. Além disso, a água do reservatório sai com a mesma concentração de sal que está dentro dele. - Concentração de sal,
: É a quantidade de sal por litro de água, então .
Passo 3
Queremos encontrar a derivada da concentração de sal em relação ao tempo,
, usando a definição de derivada:
Para simplificar, vamos primeiro expressar
:
Substituindo na definição de derivada:
Passo 4
Vamos simplificar o quociente antes de calcular o limite. Primeiro, unimos as frações:
Agora, vamos analisar as taxas de variação de
e
:
- A taxa de variação do volume,
, é simplesmente a taxa de entrada de água, que é 5 litros por minuto. - A taxa de variação da quantidade de sal,
, é a taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal. A entrada é 5 gramas por minuto (já que entram 5 litros com 1 grama por litro) e a saída é gramas por minuto (já que saem 5 litros com concentração ).
Então:
Passo 5
Usando a regra do quociente para derivadas, temos:
Substituindo
:
Simplificando:
Dividindo cada termo por
:
Como
, isso simplifica para:
Resposta
A derivada da concentração de sal em relação ao tempo é: