Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água V(t) e a quantidade de sal Q(t) no reservatório são funções do tempo t >= 0, e portanto a concentração de sal c(t) no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite c^prime(t)=lim h 0 c(t+h)-c(t)h, simplificando antes o quociente.

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre um reservatório que começa com 50 litros de água pura e é abastecido com água salgada. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada da concentração de sal no reservatório em relação ao tempo, usando o limite definido. Para isso, vamos precisar entender conceitos de taxas de variação e como aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as funções que descrevem o sistema:
  • Volume de água no reservatório, : O reservatório começa com 50 litros e recebe água a uma taxa de 5 litros por minuto. Então, .
  • Quantidade de sal no reservatório, : Inicialmente, não há sal na água. A cada minuto, entram 5 litros de água salgada com 1 grama de sal por litro, ou seja, 5 gramas de sal por minuto. Além disso, a água do reservatório sai com a mesma concentração de sal que está dentro dele.
  • Concentração de sal, : É a quantidade de sal por litro de água, então .

Passo 3

Queremos encontrar a derivada da concentração de sal em relação ao tempo, c'(t) = limh 0 c(t+h) - c(t)h , usando a definição de derivada:
c(t+h) = Q(t+h)V(t+h)
Para simplificar, vamos primeiro expressar c'(t) = limh 0 Q(t+h)V(t+h) - Q(t)V(t)h :
Substituindo na definição de derivada:

Passo 4

Vamos simplificar o quociente antes de calcular o limite. Primeiro, unimos as frações:
c'(t) = limh 0 Q(t+h)V(t) - Q(t)V(t+h)h cdot V(t+h) cdot V(t)
Agora, vamos analisar as taxas de variação de Q'(t) = 5 - 5c(t) e V'(t) = 5 :
  • A taxa de variação do volume, , é simplesmente a taxa de entrada de água, que é 5 litros por minuto.
  • A taxa de variação da quantidade de sal, , é a taxa de entrada de sal menos a taxa de saída de sal. A entrada é 5 gramas por minuto (já que entram 5 litros com 1 grama por litro) e a saída é gramas por minuto (já que saem 5 litros com concentração ).
Então:

Passo 5

Usando a regra do quociente para derivadas, temos:
c'(t) = Q'(t)V(t) - Q(t)V'(t)[V(t)]^2
Substituindo c'(t) = (5 - 5c(t))V(t) - c(t)V(t) cdot 5V(t)^2 :
c'(t) = 5V(t) - 5c(t)V(t) - 5c(t)V(t)V(t)^2 = 5V(t) - 10c(t)V(t)V(t)^2
Simplificando:
c'(t) = 5V(t) - 10c(t)V(t)
Dividindo cada termo por c'(t) = 5 - 10c(t) :
Como , isso simplifica para:

Resposta

A derivada da concentração de sal em relação ao tempo é:
c^prime(t) = 5 - 10,c(t)

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