Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número de empregados, por uma função derivável , em que é medida em milhares e em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função , e pode-se mostrar que o número de empregados que maximiza a função é aquele para o qual .
© Calcule supondo que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a quantidade de bens produzidos por uma fábrica em função do número de empregados. A função é . Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar o regra do quociente, que é uma ferramenta básica em cálculo para derivar funções que são divisões de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:
Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 3

Com as derivadas das partes identificadas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplica por :
  1. Multiplica por :
  1. Subtrai as duas expressões:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água e a quantidade de sal no reservatório são funções do tempo , e portanto a concentração de sal no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água e a quantidade de sal no reservatório são funções do tempo , e portanto a concentração de sal no reservatório é também uma função do tempo.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou a concentração está variando mais rapidamente.
Calcule os limites a seguir:
b)
Encontre o domínio da seguinte e a imagem função: .