Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em função do número
de empregados, por uma função derivável
, em que
é medida em milhares e
em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela função
, e pode-se mostrar que o número
de empregados que maximiza a função
é aquele para o qual
.
© Calcule
supondo que
.
© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que representa a quantidade de bens produzidos por uma fábrica em função do número de empregados. A função é
. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada dessa função, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar usar o regra do quociente, que é uma ferramenta básica em cálculo para derivar funções que são divisões de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Passo 3
Com as derivadas das partes identificadas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
- Multiplica
por :
- Multiplica
por :
- Subtrai as duas expressões:
Então, o numerador simplificado é
.
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
(b) Calcule o limite , simplificando antes o quociente.
(b) Calcule o limite
Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes ou
a concentração está variando mais rapidamente.
© Usando o item anterior, decida em qual dos instantes
Calcule os limites a seguir:
b)
b)
Encontre o domínio da seguinte e a imagem função:
.