Encontre o domínio da seguinte e a imagem função: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função . A matéria envolvida aqui são as funções trigonométricas, especificamente a função cosecante. Vamos precisar entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função cosecante. A função é o inverso da função seno, ou seja, . Isso significa que a cosecante só está definida quando o seno não é zero, pois não podemos dividir por zero.

Passo 3

Para encontrar o domínio da função , precisamos determinar para quais valores de o denominador não é zero. Então, devemos resolver a equação:
Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo de . Ou seja:
é

Passo 4

Vamos isolar nessa desigualdade:
Portanto, o domínio da função são todos os números reais exceto aqueles que satisfazem , onde é um inteiro.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função . Começamos analisando a função base , que tem imagem .

Passo 6

Multiplicando pela constante 5, a imagem se torna:

Passo 7

Finalmente, subtraindo 3:
Portanto, a imagem da função é .

Resposta

  • Domínio: , , onde é inteiro.
  • Imagem: .

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