Encontre o domínio da seguinte e a imagem função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o domínio e a imagem da função
. A matéria envolvida aqui são as funções trigonométricas, especificamente a função cosecante. Vamos precisar entender onde a função está definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função cosecante. A função
é o inverso da função seno, ou seja,
. Isso significa que a cosecante só está definida quando o seno não é zero, pois não podemos dividir por zero.
Passo 3
Para encontrar o domínio da função
, precisamos determinar para quais valores de
o denominador
não é zero. Então, devemos resolver a equação:
Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo de
. Ou seja:
Passo 4
Vamos isolar
nessa desigualdade:
Portanto, o domínio da função são todos os números reais exceto aqueles que satisfazem
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função
. Começamos analisando a função base
, que tem imagem
.
Passo 6
Multiplicando pela constante 5, a imagem se torna:
Passo 7
Finalmente, subtraindo 3:
Portanto, a imagem da função é
.
Resposta
- Domínio:
, , onde é inteiro. - Imagem:
.