Calcule os limites a seguir, caso existam:
d.
d.
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício envolve o estudo de limites em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um valor específico. Para resolver esse limite, vamos precisar fatorar o numerador e analisar o comportamento da função próximo a
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observamos que o numerador
é um polinômio que podemos fatorar. Vamos procurar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5.
Agora, substituímos na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
se aproxima de 5. Se substituirmos diretamente
, o denominador fica zero, o que nos leva a uma indeterminação. Portanto, precisamos entender o que acontece com o numerador e o denominador à medida que
se aproxima de 5.
Passo 4
Para
próximo a 5, o numerador
se aproxima de
, que é um valor constante. Já o denominador
se aproxima de 0. Isso significa que estamos dividindo um número próximo a 6 por um número muito pequeno próximo a 0.
Passo 5
Devemos considerar de que lado
está se aproximando de 5:
- Se
se aproxima de 5 por valores maiores que 5 ( ), o denominador é positivo e muito pequeno, fazendo com que a fração seja um número muito grande positivo. - Se
se aproxima de 5 por valores menores que 5 ( ), o denominador é negativo e muito pequeno, fazendo com que a fração seja um número muito grande negativo.
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque tende a
por um lado e
pelo outro.
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a.
a.
Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
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b.
b.
Quais os valores de
,
e
a função
satisfaz as hipóteses do T.V.M. no intervalo [0, 2]?