Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa desenhar a região definida por e calcular a área dessa região, caso ela seja finita. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A condição nos diz que estamos trabalhando com valores de que são menores ou iguais a zero, ou seja, à esquerda do eixo .

Passo 3

A segunda condição indica que, para cada , varia de 0 até . A função é uma exponencial que, para , sempre está entre 0 e 1.

Passo 4

Vamos esboçar a região. No plano cartesiano, desenhe o eixo e marque apenas os valores de à esquerda de 0. A curva começa em quando e se aproxima de 0 à medida que vai para -infinito.

Passo 5

Agora, para encontrar a área dessa região, usamos a integração. A área pode ser calculada integrando em relação a de -infinito até 0:

Passo 6

Vamos resolver a integral. A integral de é , então:

Passo 7

Calculando os limites:
Então:

Resposta

A área da região é igual a 1.

Exercícios relacionados

Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
d. , fazendo
Utilise o Teorema de Green para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da circunferência
Calcule os limites a seguir, caso existam:
a.
Calcule os limites a seguir, caso existam:
d.