Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa desenhar a região definida por
e calcular a área dessa região, caso ela seja finita. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos lidando. A condição
nos diz que estamos trabalhando com valores de
que são menores ou iguais a zero, ou seja, à esquerda do eixo
.
Passo 3
A segunda condição
indica que, para cada
,
varia de 0 até
. A função
é uma exponencial que, para
, sempre está entre 0 e 1.
Passo 4
Vamos esboçar a região. No plano cartesiano, desenhe o eixo
e marque apenas os valores de
à esquerda de 0. A curva
começa em
quando
e se aproxima de 0 à medida que
vai para -infinito.
Passo 5
Agora, para encontrar a área dessa região, usamos a integração. A área
pode ser calculada integrando
em relação a
de -infinito até 0:
Passo 6
Vamos resolver a integral. A integral de
é
, então:
Passo 7
Calculando os limites:
Então:
Resposta
A área da região é igual a 1.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas
e
usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
d. , fazendo
d.
Utilise o Teorema de Green para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da circunferência
Calcule os limites a seguir, caso existam:
a.
a.
Calcule os limites a seguir, caso existam:
d.
d.