Quais os valores de , e a função satisfaz as hipóteses do T.V.M. no intervalo [0, 2]?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função definida por partes no intervalo [0, 2]. Precisamos encontrar os valores de , e para que a função satisfaça as condições do Teorema do Valor Médio (TVM) nesse intervalo.
Para aplicar o TVM, a função deve ser contínua em [0, 2] e diferenciável em (0, 2). Vamos precisar garantir que as partes da função se conectem sem “saltos” e que a derivada exista em todos os pontos dentro do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir a continuidade da função no ponto onde as partes se encontram, que é em .
A função à esquerda de 1 é e à direita é . Para que a função seja contínua em , os valores das duas expressões devem ser iguais nesse ponto.
Então, igualamos:
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada exista em . Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais nesse ponto.
A derivada da primeira parte é:
A derivada da segunda parte é:
Para que as derivadas sejam iguais em :
Agora que encontramos , podemos substituir na Equação 1:
çã

Passo 4

Também precisamos garantir que a função seja contínua em . A função está definida como e para próximo de 0 pelo lado direito é .
Vamos calcular o limite quando tende a 0 pela direita:
Para que a função seja contínua em 0:

Passo 5

Agora que sabemos que , substituímos na Equação 2 para encontrar :

Resposta

Os valores são , e .

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir, caso existam:
b.
Calcule os limites a seguir, caso existam:
d.
Calcule o polinômio de Taylor (em uma vizinhança de ) de grau 5 da função .