Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções racionais quando a variável se aproxima de um valor que pode causar divisão por zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo a
e o que acontece quando o denominador se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador da fração,
, se aproxima de zero quando
se aproxima de 1. Isso significa que estamos lidando com uma situação onde a função pode tender para infinito ou menos infinito, dependendo de como
se aproxima de 1.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de 1 por valores maiores que 1 (direita) e por valores menores que 1 (esquerda):
-
Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ): -
é um número positivo muito pequeno. -
será um número positivo muito grande, tendendo para .
-
-
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): -
é um número negativo muito pequeno. -
será um número negativo muito grande, tendendo para .
-
Passo 4
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe. A função não se aproxima de um único valor finito ou do mesmo infinito de ambos os lados quando
se aproxima de 1.
Resposta
O limite
não existe, pois a função tende para
quando
se aproxima de 1 pela direita e para
quando se aproxima pela esquerda.
Exercícios relacionados
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Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
© Mostre que é convergente.
© Mostre que
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Prove que
(ou seja, utilize a definição formal de limite, com
e
).