Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções racionais quando a variável se aproxima de um valor que pode causar divisão por zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo a e o que acontece quando o denominador se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador da fração, , se aproxima de zero quando se aproxima de 1. Isso significa que estamos lidando com uma situação onde a função pode tender para infinito ou menos infinito, dependendo de como se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de 1 por valores maiores que 1 (direita) e por valores menores que 1 (esquerda):
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
    • é um número positivo muito pequeno.
    • será um número positivo muito grande, tendendo para .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    • é um número negativo muito pequeno.
    • será um número negativo muito grande, tendendo para .

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe. A função não se aproxima de um único valor finito ou do mesmo infinito de ambos os lados quando se aproxima de 1.

Resposta

O limite não existe, pois a função tende para quando se aproxima de 1 pela direita e para quando se aproxima pela esquerda.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
© Mostre que é convergente.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Justifique a resposta.
Prove que (ou seja, utilize a definição formal de limite, com e ).