Calcule os limites a seguir, caso existam. lim x 2 x^4-16x^2-x-2 Resp: 32 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, onde precisamos entender como as funções se comportam quando se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) . Isso parece com uma diferença de quadrados, já que e . A fórmula da diferença de quadrados é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos fatorar x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) que ainda está no numerador. Novamente, é uma diferença de quadrados:
x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Então, o numerador completamente fatorado fica:

Passo 4

Vamos para o denominador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Precisamos fatorar essa expressão. Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim:

Passo 5

Agora, substituímos as fatoraç��es no limite original:
lim x 2 (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x - 2)(x + 1)
Percebemos que o termo lim x 2 (x + 2)(x^2 + 4)x + 1 está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 6

Agora que simplificamos, podemos substituir diretamente (2 + 2)(2^2 + 4)2 + 1 = 4 times (4 + 4)3 = 4 times 83 = 323 por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados