Seja
. Esboce o gráfico de
e calcule:
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve funções definidas por partes e limites. Precisamos esboçar o gráfico da função
e calcular o limite de
quando
se aproxima de 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas maneiras, dependendo do valor de
:
Isso significa que para valores de
menores ou iguais a 2, a função segue a equação
, e para valores maiores que 2, segue
.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de
. Para isso, desenharemos duas retas diferentes:
- Para
: A equação é . Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em -1. - Para
: A equação é . Essa reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em -3.
No ponto
, devemos verificar o valor de
:
Então, o ponto (2, 1) pertence à primeira reta. Para a segunda reta, mesmo que ela comece em
, seu valor em
seria:
Isso mostra que as duas retas se encontram no ponto (2, 1), formando uma junção contínua no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3:
Observando a definição de
, para
, usamos
. Como 3 é maior que 2, aplicamos essa parte da função: