Seja . Esboce o gráfico de e calcule:

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve funções definidas por partes e limites. Precisamos esboçar o gráfico da função e calcular o limite de quando se aproxima de 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras, dependendo do valor de :
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 2, a função segue a equação , e para valores maiores que 2, segue .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de . Para isso, desenharemos duas retas diferentes:
  1. Para : A equação é . Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em -1.
  2. Para : A equação é . Essa reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em -3.
No ponto , devemos verificar o valor de :
Então, o ponto (2, 1) pertence à primeira reta. Para a segunda reta, mesmo que ela comece em , seu valor em seria:
Isso mostra que as duas retas se encontram no ponto (2, 1), formando uma junção contínua no gráfico.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3:
Observando a definição de , para , usamos . Como 3 é maior que 2, aplicamos essa parte da função:

Resposta

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Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp:
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp:
Seja , esboce o gráfico e calcule os limites:
Esboce o gráfico e faça o estudo de sinal das funções de grau: