Seja f(x)=lx-1, x <= 2 2 x-3, x>2. Esboce o gráfico de f(x) e calcule: lim x 3 f(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve funções definidas por partes e limites. Precisamos esboçar o gráfico da função e calcular o limite de quando se aproxima de 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = x - 1 & se x <= 2 2x - 3 & se x > 2 . Ela é definida de duas maneiras, dependendo do valor de :
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 2, a função segue a equação , e para valores maiores que 2, segue .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de f(2) = 2 - 1 = 1 . Para isso, desenharemos duas retas diferentes:
  1. Para f(2) = 2(2) - 3 = 1 : A equação é . Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em -1.
  2. Para : A equação é . Essa reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em -3.
No ponto , devemos verificar o valor de :
Então, o ponto (2, 1) pertence à primeira reta. Para a segunda reta, mesmo que ela comece em , seu valor em seria:
Isso mostra que as duas retas se encontram no ponto (2, 1), formando uma junção contínua no gráfico.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 3 f(x) quando limx to 3 (2x - 3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 se aproxima de 3:
Observando a definição de , para , usamos . Como 3 é maior que 2, aplicamos essa parte da função:

Resposta

limx to 3 f(x) = 3

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