Vamos resolver um exercício que envolve funções definidas por partes e limites. Precisamos esboçar o gráfico da função e calcular o limite de quando se aproxima de 3. Para isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras, dependendo do valor de :
Isso significa que para valores de menores ou iguais a 2, a função segue a equação , e para valores maiores que 2, segue .
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de . Para isso, desenharemos duas retas diferentes:
Para : A equação é . Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto em -1.
Para : A equação é . Essa reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em -3.
No ponto , devemos verificar o valor de :
Então, o ponto (2, 1) pertence à primeira reta. Para a segunda reta, mesmo que ela comece em , seu valor em seria:
Isso mostra que as duas retas se encontram no ponto (2, 1), formando uma junção contínua no gráfico.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3:
Observando a definição de , para , usamos . Como 3 é maior que 2, aplicamos essa parte da função: