Calcule os limites a seguir, caso existam. lim x -2 x^2-2 x-8x^2+5 x+6 Resp: -6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais. O enunciado é:
lim x -2 x^2-2 x-8x^2+5 x+6
Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais, especialmente quando a substituição direta resulta em uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente (-2)^2 - 2(-2) - 8(-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 + 4 - 84 - 10 + 6 = 00 na função para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , então não conseguimos encontrar o limite dessa maneira. Precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada como x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Vamos fatorar ambos:
Numerador: x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Vamos procurar dois números que multiplicam para -8 e somam para -2. Esses números são -4 e +2:
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicam para +6 e somam para +5. Esses números são +2 e +3:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 4)(x + 2)(x + 2)(x + 3)
Perceba que temos o fator x - 4x + 3 tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse fator, desde que :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo -2 - 4-2 + 3 = -61 = -6 :

Resposta

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