Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função:
, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a
da população inicial?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o número de indivíduos em uma população ao longo do tempo:
. Queremos descobrir em quanto tempo a população vai se reduzir para
da população inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.
Passo 2
A população inicial é quando
. Então,
. Queremos que a população seja
de
, ou seja,
.
Passo 3
Igualamos a função à população desejada:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Lembrando que
pode ser escrito como
, já que
. Então temos:
Passo 5
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo mínimo para que a população se reduza a
da população inicial é
anos.