Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a da população inicial?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve o número de indivíduos em uma população ao longo do tempo: . Queremos descobrir em quanto tempo a população vai se reduzir para da população inicial. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos.

Passo 2

A população inicial é quando . Então, . Queremos que a população seja de , ou seja, .

Passo 3

Igualamos a função à população desejada:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 4

Lembrando que pode ser escrito como , já que . Então temos:

Passo 5

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

O tempo mínimo para que a população se reduza a da população inicial é anos.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp:
Uma pessoa tomou de um certo remédio. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de seis horas. Como o paciente não sabia o que significava meia-vida, foi a um dicionário, e encontrou: Meia-Vida: Tempo necessário para que uma grandeza atinja metade do seu valor inicial. Usando o item a) determine a quantidade de remédio presente no organismo depois de 3 horas.
Calcule os limites a seguir, caso existam. Resp: -6
Seja A função é contínua em ? Justifique.