Seja
A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em
. Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em
.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então,
está definida e igual a -1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja,
. Nesse caso,
, então usamos
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja,
. Aqui,
, então usamos
:
Passo 6
Agora, comparamos os limites laterais com
:
Passo 7
Para a função ser contínua em
, os limites laterais devem ser iguais e também iguais a
. Porém, aqui:
Ou seja, -1 não é igual a 2.
Resposta
A função
não é contínua em
porque os limites laterais são diferentes e não coincidem com
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir, caso existam.
Resp: -6
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função:
, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a
da população inicial?
Uma pessoa tomou
de um certo remédio. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de seis horas. Como o paciente não sabia o que significava meia-vida, foi a um dicionário, e encontrou: Meia-Vida: Tempo necessário para que uma grandeza atinja metade do seu valor inicial. Após t horas de ingestão do remédio, qual é a quantidade ainda presente no organismo? Resp:
A função Logística é definida por:
; onde
e
são constante positivas e dependem de cada problema em questão. Esta função é usada no estudo de crescimento populacional, propagação de epidemias, de doenças infecciosas, e na propagação de boatos ou noticias. Se a população de uma certa espécie de peixes em um tanque é dado por:
; onde
denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo aproximadamente será necessário para que a população atinja 2000 peixes?