Seja A função é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em . Para isso, precisamos entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em .

Passo 2

Vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, está definida e igual a -1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, . Nesse caso, , então usamos :

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, . Aqui, , então usamos :

Passo 6

Agora, comparamos os limites laterais com :

Passo 7

Para a função ser contínua em , os limites laterais devem ser iguais e também iguais a . Porém, aqui:
Ou seja, -1 não é igual a 2.

Resposta

A função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes e não coincidem com .

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